Całka ogólna i szczególna. RaBarbar: Czy funkcja y=e^2x+7 jest całką szczególną równania y'=2y−6. Jak wygląda całka ogólna tego równania? Chcę zrozumieć mechanizm tego zdania co się dzieje po kolei Będę wdzięczna za instrukcje

Jerzy: y' = 2e^x ≠ 2y − 6

Jerzy: Nie tak ... y' = 2e²x 2e²x = 2*e^2x + 7 − 6 = 2e^2x + 1 równaie sprzeczne.

Jerzy: Oczywiście tam ma być: 2e^2x

Blee: Jerzy ... nie +7−6. Tylko winno byc +14−6 po podstawieniu, co nie zniemia faktu ze nie jest to sprzeczne

RaBarbar: 2e²x to całka ogólna równania? Czyli 2e²x =y

Jerzy: Tak ...14 − 6

RaBarbar: A można chronologicznie prosić przebieg zadania− będzie mi łatwiej zrozumieć 😉

Jerzy: Całka ogólna to rodzina funkcji z dokladnością do stałej.

Jerzy:

dy
	= 2y − 6
dx

d
	= dx
2y − 6

1
	lnI2y − 6| = x
2

ln|2y − 6I = 2x + C₁ 2y − 6 = e^{2x + C₁} 2y = C₂*e^2x y = C*e^2x , to jest całka ogólna tego równania.

RaBarbar: A gdyby obie strony równań się zgadzały? Tzn że funkcja y jest całką szczególną y'?

Jerzy: Tak, jeśli po podstawieniu obie strony są takie same, to to jest całka szczególna.

RaBarbar: A czy to przypadek że uzyskany wynik za pomocą obliczania pochodnej z (e^2x+7)' jest taki sam

Jerzy: W jakim sensie "taki sam" ?

RaBarbar: Całka ogólna równania z Twoich obliczeń jest identyczna jak wynik pochodnej z tego samego równiania czy to analogiczny sposób uzyskiwania całki ogólnej tego równania? Czy to po prostu przypadek

RaBarbar: Bo (e^2x+7)'=2e^2x

RaBarbar: Aaahaa czyli liczba stojąca przy e to stała C z postaci ogólnej całki?

Jerzy: Co to znaczy pochodna równania ?

RaBarbar: Błąd logiczny − pochodna wyrażenia (e^2x+7)'

Jerzy: OK. (e^2x + 7)' = 2e^2x

RaBarbar: Tak 🙂 i czy te obliczenia są równoważne dla otrzymywania całki ogólnej?

Jerzy: Rozwiązywanie równania różniczkowego to wyznaczanie całki ogólnej tego równania , czyli rodziny funkcji spełniajacych to równanie.