rekurencja Krzysiek: a_n=2a_n−1+a_n−2 a_n=?

Krzysiek: a₁=3, a₂=7

Adamm: a₀=1 A(x)=∑_n=0a_nxⁿ=1+3x+∑_n=0(2a_n+1+a_n)xⁿ⁺²= =1+3x+2x∑_n=0a_n+1xⁿ⁺¹+x²∑_n=0a_nxⁿ= =1+3x+2x(A(x)−1)+x²A(x) (1−2x−x²)A(x)=1+x

	1+x		A		B
A(x)=		=		+
	1−2x−x2		x+1−√2		x+1+√2

1+x=Ax+Bx+(1−√2)B+(1+√2)A A+B=1 (1−√2)B+(1+√2)A=1 A=B=1/2

	1		−1−√2		−1+√2
A(x)=		(		+		)=
	2		1−(1+√2)x		1−(1−√2)x

	1
=∑n=0 −		[(1+√2)n+1+(1−√2)n+1]xn
	2

Adamm: mała pomyłka A+B=−1 (1−√2)B+(1+√2)A=−1 A=B=−1/2 odpowiedź taka sama tylko bez tego minusa

Krzysiek: a takie coś: a_n=3a_n−1−3(n−2) a₁=3, a₂=6

Adamm: a₀=0 A(x)= ∑_n=0a_nxⁿ = ∑_n=0a_n+1xⁿ⁺¹ = ∑_n=0(3a_n−3n+6))xⁿ⁺¹ = = 3xA(x)−3∑_n=0nxⁿ⁺²+6∑_n=0xⁿ⁺¹ =

	x3		x
= 3xA(x)−3		+6
	(1−x)2		1−x

	x3		x
(1−3x)A(x)=−3		+6
	(1−x)2		1−x

	−3x3−6x2+6x		−13x2+11x−1
A(x)=		=1+
	(1−x)2(1−3x)		(1−x)2(1−3x)

−13x2+11x−1		A		B		C
	=		+		+
(1−x)2(1−3x)		(1−x)2		1−x		1−3x

−13x²+11x−1=A−3Ax+B−4Bx+3Bx²+C−2Cx+Cx² A+B+C=−1 −3A−4B−2C=11 3B+C=−13 A=3/2, B=−21/4, C=11/4

	3		21		11
A(x)=∑n=0(		(n+1)−		+		3n)xn
	2		4		4

	3		11		15
an=		n+		3n−
	2		4		4

Adamm: ah miało być a_n=3a_n−1−3a_n−2 wszystko źle

Mila: Może być w równaniu 3(n−2), tylko po co dane a₂.

Mila: (*) a_n=3a_n−1−3(n−2) a₁=3 f(n)=−3(n−2) a_n−3a_n−1=0 x−3=0 r. charakterystyczne x=3 a_n=a_n⁽¹⁾+a_n⁽²⁾ 1)a_n⁽¹⁾=A*3ⁿ 2)a_n⁽²⁾=Cn+D podstawiamy do (*) Cn+D=3*[C*(n−1)+D]−3n+6 −2Cn−2D+3C=−3n+6

	3		3
C=		i D=−
	2		4

	3		3
an(2)=		n−
	2		4

3)

	3		3
an=A*3n+		n−
	2		4

	3		3		3
a1=3=A*3+		−		⇔A=
	2		4		4

4)

	3		3		3
an=		*3n+		n−
	4		2		4

========================

Mariusz: Adam co z tą jedynką ? Nie lepiej rozkładać

−3x3−6x2+6x		Ax		Bx		Cx
	=		+		+
(1−x)2(1−3x)		1−x		(1−x)2		1−3x

i wtedy będziemy mieli ciąg indeksowany od jedynki Twój błędny rozkład wziął się prawdopodobnie z tego iż uważasz go za rozkład na sumę ułamków prostych a nie na sumę szeregów geometrycznych i ich pochodnych

Mariusz: a_n=3a_n−1−3(n−2) 3a_n−1=a_n+3(n−2) 3a₀=a₁+3(1−2) 3a₀=3+3(−1)=0 A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ ∑_n=1^∞a_nxⁿ=∑_n=1^∞3a_n−1xⁿ−∑_n=1^∞3(n−2)xⁿ

d		1		−1		1
	(		)=		(−1)=
dx		1−x		(1−x)2		(1−x)2

d
	(∑n=0∞xn)=∑n=0∞nxn−1=∑n=1∞nxn−1
dx

	x
∑n=1∞nxn=
	(1−x)2

	3		6x
∑n=1∞anxn=∑n=1∞3an−1xn−		+
	(1−x)2		1−x

	3		6x
∑n=0∞anxn=3x(∑n=1∞an−1xn−1)−		+
	(1−x)2		1−x

	3x		6x
∑n=0∞anxn=3x(∑n=0∞anxn)−		+
	(1−x)2		1−x

	−3x+6x(1−x)
A(x)−3xA(x)=
	(1−x)2

	3x−6x2
A(x)(1−3x)=
	(1−x)2

	3x−6x2
A(x)=
	(1−x)2(1−3x)

3x−6x2		A		B		C
	=		+		+
(1−x)2(1−3x)		1−x		(1−x)2		1−3x

A(1−x)(1−3x)+B(1−3x)+C(1−x)²=3x−6x² A(1−4x+3x²)+B(1−3x)+C(1−2x+x²)=3x−6x² A+ B+C=0 −4A−3B−2C=3 3A+C=−6 C=−6−3A −4A−3B−2(−6−3A)=3 A+B−6−3A=0 C=−6−3A 2A−3B=−9 −2A+B=6 C=−6−3A B=6+2A 2A−3(6+2A)=−9 C=−6−3A B=6+2A −4A=9

	9
A=−
	4

	6
B=
	4

	3
C=
	4

3x−6x2		9	1		6	1		3	1
	=−			+			+
(1−x)2(1−3x)		4	1−x		4	(1−x)2		4	1−3x

	9		6		3
A(x)=−		(∑n=0∞xn)+		(∑n=0∞(n+1)xn)+		(∑n=0∞3nxn)
	4		4		4

	9		6		3
an=−		+		(n+1)+		·3n
	4		4		4

	3		3
an=		(2n−1)+		·3n
	4		4

Adam wydaję mi się że zwiększając indeks w części jednorodnej nie zwiększyłeś go w części niejednorodnej i dlatego funkcja tworząca mogła być błędnie wyznaczona Jeśli chodzi o tę rekurencję to podejrzenie Adama może być słuszne tym bardziej że a₂=6 nie jest wyrazem tego ciągu

Mariusz: Jeśli chcemy się bawić to możemy jednorodne przekształcić w układ równań i rozwiązać metodą macierzową korzystając z wartości i wektorów własnych a następnie uzmiennić stałe tylko tutaj zamiast wrońskianu mamy casoratian Sposób działa dla tych samych równań co równanie charakterystyczne i przewidywanie ale nie trzeba zgadywać

Mila: Masz rację Mariusz , a₂ wychodzi ≠6 wg a_n wyznaczonego przez Ciebie i mnie. Najmniej zainteresowany autor.

Pytający: a₁=3 a₂=6 a_n=3a_n−1−3a_n−2 dla n≥3 Nie podano a₀, więc jak mniemam indeksujemy od 1, więc coby uprościć: b_n=a_n+1 dla n≥0 B(x)=∑_n=0^∞(b_nxⁿ)=3+6x+3∑_n=2^∞(b_n−1xⁿ)−3∑_n=2^∞(b_n−2xⁿ)= =3+6x+3x∑_n=1^∞(b_nxⁿ)−3x²∑_n=0^∞(b_nxⁿ)=3+6x+3x(B(x)−3)−3x²B(x) ⇒

	3−3x		3−3x		c		d
⇒ B(x)=		=		=		+
	1−3x+3x2		(1−αx)(1−βx)		1−αx		1−βx

Otrzymujemy:

	3+i√3		3−i√3
α=		, β=		, c=β, d=α
	2		2

	β		α
B(x)=		+		=∑n=0∞((αnβ+αβn)xn) ⇒ bn=αnβ+αβn dla n≥0 ⇒
	1−αx		1−βx

⇒ a_n=αⁿ⁻¹β+αβⁿ⁻¹ dla n≥1 Pierwsze 10 wyrazów: https://www.wolframalpha.com/input/?i=Table%5Bba%5E(n-1)%2Bab%5E(n-1),+%7Bn,1,10%7D%5D+where+a%3D(3%2Bi*sqrt(3))%2F2,+b%3D(3-i*sqrt(3))%2F2