Ciąg (a_n) jest zdefiniowany rekurencyjnie Ewa: Ciąg (a_n) jest zdefiniowany rekurencyjnie: a_n = 8a_n−1 − 15a_n−2 − 8*3ⁿ⁻¹ dla n>1 Znajdź rozwiązanie szczególne a_n ^(sz) tego ciągu i zapisz je.

cosinusx: A znasz a₁ i a₂?

Mariusz: A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ ∑_n=2^∞a_nxⁿ=∑_n=2^∞8a_n−1xⁿ−∑_n=2^∞15a_n−2xⁿ

	8
−		∑n=2∞3nxn
	3

∑_n=0^∞a_nxⁿ−a₀−a₁x=8x(∑_n=2^∞8a_n−1xⁿ⁻¹)

	8
−15x2(∑n=2∞an−2xn−2)−		∑n=2∞3nxn
	3

∑_n=0^∞a_nxⁿ−a₀−a₁x=8x(∑_n=1^∞a_nxⁿ)

	24x2
−15x2(∑n=0∞anxn)−
	1−3x

∑_n=0^∞a_nxⁿ−a₀−a₁x=8x(∑_n=0^∞a_nxⁿ−a₀)

	24x2
−15x2(∑n=0∞anxn)−
	1−3x

	24x2
A(x)−a0−a1x=8x(A(x)−a0)−15x2A(x)−
	1−3x

	24x2
A(x)−a0−a1x=8xA(x)−8a0x−15x2A(x)−
	1−3x

	24x2
A(x)(1−8x+15x2)=a0+(a1−8a0)x−
	1−3x

	a0+(a1−8a0)x−3a0x−3(a1−8a0)x2−24x2
A(x)(1−8x+15x2)=
	(1−3x)

	a0+(a1−11a0)x−3(a1−8a0+8)x2
A(x)(1−8x+15x2)=
	(1−3x)

	a0+(a1−11a0)x−3(a1−8a0+8)x2
A(x)=
	(1−3x)2(1−5x)

	A		B		C
A(x)=		+		+
	1−3x		(1−3x)2		1−5x

d		1		1
	(		)=−		(−3)
dx		1−3x		(1−3x)2

d		1		3
	(		)=
dx		1−3x		(1−3x)2

Ewa: cosinusx − nie, nie znam

Ewa: Poprawna odpowiedz to 4n3ⁿ

Ewa: Ale nie wiem jak do tego dojść

Mariusz: Można wydobyć z rozwiązania ogólnego do którego można dojść kończąc moje rachunki związane z funkcją tworzącą Funkcja tworząca jest dość wygodna bo każdy następny krok obliczeń wynika z poprzedniego Tutaj aby dostać współczynniki rozwinięcia funkcji tworzącej w szereg wystarczy ją rozłożyć na sumę szeregów geometrycznych i ich pochodnych ale czasem przydatne będzie różniczkowanie funkcji tworzącej

Mila: (*) a_n = 8a_n−1 − 15a_n−2 − 8*3ⁿ⁻¹ dla n>1 a_n=a_n⁽¹⁾+a_n⁽²⁾ 1) a_n⁽¹⁾ wyznaczamy z równania charakterystycznego, trzeba znać warunki początkowe pierwiastki r. charakterystycznego x²−8x+15=0 x=5 lub x=3 2) Ty masz wyznaczyć a_n⁽²⁾ f(n)=−8*3ⁿ⁻¹ ponieważ 3 jest pierwiastkiem r. charakterystycznego⇔ a_n⁽²⁾=C*n*3ⁿ podstawiamy do równania (*) C*n*3ⁿ=8*C*(n−1)*3ⁿ⁻¹−15*C*(n−2)*3ⁿ⁻²−8*3ⁿ⁻¹ /:3ⁿ⁻² C*n*3²=8*C*(n−1)*3−15*C*(n−2)−8*3 /:3 3C*n=8*C(n−1)−5*C*(n−2)−8 3C*n=8C*n−8C−5C*n+10C−8 3Cn=3Cn+2C−8 2C=8 C=4 a_n⁽²⁾=4n*3ⁿ