| x | ||
"Funkcja A(x) = | jest funkcją tworzącą ciągu: " Mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak | |
| (1−x)3 |
| x | A | B | C | ||||
= | + | + | |||||
| (1−x)3 | (1−x)3 | (1−x)2 | 1−x |
| 1 | |
=1+x+x2+...+xn+... | |
| 1−x |
| 1 | |
=1+2x+3x2+...+(n+1)xn+... | |
| (1−x)2 |
| 2 | |
=2+3*2x+4*3x2+...+(n+2)(n+1)xn+... | |
| (1−x)3 |
| A | ||
więc an= | (n+2)(n+1)+B(n+1)+C | |
| 2 |
| 1 | ||
wynik powinien wyjść an= | n(n+1) | |
| 2 |
| 1 |
| |||||||||
Można by też tak (zakładając znajomość wzoru | =∑n=0∞(an | xn)): | ||||||||
| (1−ax)k+1 |
| x | x+1−1 | 1−(1−x) | 1 | 1−x | ||||||
A(x)= | = | = | = | − | = | |||||
| (1−x)3 | (1−x)3 | (1−x)3 | (1−x)3 | (1−x)3 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | |||||
= | − | = | − | = | ||||
| (1−x)3 | (1−x)2 | (1−x)2+1 | (1−x)1+1 |
|
| |||||||||||||||
=∑n=0∞( | *xn)−∑n=0∞( | *xn)= | ||||||||||||||
| (n+2)(n+1) | ||
=∑n=0∞(( | −(n+1))*xn) ⇒ | |
| 2 |
| n+2 | n | n(n+1) | ||||
⇒ an=(n+1)( | −1)=(n+1)( | +1−1)= | ||||
| 2 | 2 | 2 |
| x | A | B | C | ||||
= | + | + | |||||
| (1−x)3 | (1−x)3 | (1−x)2 | 1−x |
| x | A+B*(1−x)+C*(1−x)2 | ||
= | |||
| (1−x)3 | (1−x)3 |
| x | 1 | 1 | |||
= | − | ||||
| (1−x)3 | (1−x)3 | (1−x)2 |
|
| n*(n+1) | ||||||||||||||||
an= | − | = | ||||||||||||||||
| 2 |
| 1 | |||||||||
∑(n=0∞) | xn= | |||||||||
| (1−x)m |
