Udowodnij, że dla dowolnej parzystej liczby naturalnej n, liczba n(n+2)(2n-1) Mateo: Udowodnij, że dla dowolnej parzystej liczby naturalnej n, liczba n(n+2)(2n−1) jest podzielna przez 24. POMOCY

Milo: n = 2k, k∊N (bo n − parzysta naturalna) wówczas n(n+2)(2n−1) = 2k(2k+2)(4k−1) = 4k(k+1)(4k−1) Na pewno jest więc podzielna przez 4 (dzięki tej czwórce z przodu) Poza tym mamy iloczyn k(k+1) − dwie kolejne liczby naturalne, więc jedna z nich jest parzysta Stąd całość dzieli się jeszcze przez 2, czyli już przez 4*2=8 Pozostaje jeszcze podzielność przez 3: 1) jeśli k jest podzielne przez 3, to całość jest podzielna przez 3, bo w tym iloczynie występuje k 2) jeśli k z dzielenia przez 3 daje resztę 1, to 4k z dzielenia przez 3 da resztę (4k = 3k + k), a więc 4k−1 będzie podzielne przez 3, czyli znowu cały iloczyn także 3) jeśli k z dzielenia przez 3 daje resztę 2, to k+1 jest podzielne przez 3,... W każdym przypadku n(n+2)(2n−1) dzieli się przez 4*2*3 = 24

Milo: w 2) ma być "4k z dzielenia przez 3 da resztę 1"

Milo: Jeśli nie widzisz tej podzielności przez 3, to rozpatrujemy: 1) k = 3l, l∊ℤ 2) k = 3l+1, wówczas 4k = 4(3l+1) = 3(4l + 1) + 1 4l+1∊ℤ 3) k = 3l+2, wówczas k+1 = 3(l+1) l+1∊ℤ

Adamm: k(k+1)(4k−1)=k(k+1)*3k+k(k+1)(k−1) 3|k(k+1)*3k i 3|k(k+1)(k−1) bo to 3 kolejne liczby całkowite

Mateo: Dziękuje

Mila: 1) n=2k, k∊N w=n*(n+2)*(2n−1)=2k*(2k+2)*(4k−1)=2*k*2*(k+1)*(4k−1)=4*k*(k+1)*(4k−1)= =4*k*(k+1)*[3k+(k−1)]=4*k*(k+1)*3k+4k*(k+1)*(k−1) ♦iloczyn 4*3k*(k+1) dzieli się przez 3 i przez 8 [ k*(k+1)− jedna z liczb w tym iloczynie parzysta] ♦iloczyn 4*(k−1)*k*(k+1) też podzielny przez 3 i 8 k−1, k, k+1 − trzy kolejne liczby naturalne, co najmniej jedna jest parzysta i jedna podzielna przez 3. ⇔podany iloczyn podzielny przez 24.

Mila: Ale wysyp

Eta: