Funkcje wymierne kasia123: Wyznacz wartości parametru m, dla których dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych. f(x) = (2x−4) / (mx+2) w odpowiedzi jest tylko m=0, a przecież dla m=−1 wychodzi y=−2 (wtedy też dziedzina to wszystkie liczby R)... ?

yht: ale dla m=−1 dziedzina nie będzie R mianownik ≠ 0 oraz m=−1 −1*x+2≠0 −x≠−2 x≠2

wiesiu: Dla m = −1 w mianowniku masz −x+2, czyli że dla x=2 jest dzielenie przez zero.

kasia123: Ahh faktycznie...macie rację, dziękuję.

cotyniepowiesz98: Ale jeśli m=−1 to funkcja nie będzie homograficzna?

Milo: Nie, będzie wówczas f(x) = −2 dla x∊R\{2}

kasia123: A skąd wzięło się ac−cd=0 (nie jestem do konca pewna czy dobrze napisalam). Czy można jakos inaczej sprawdzic czy funckja jest homograficzna?

Milo: Cała rzecz w tym, żeby nam się "nie skróciło" tak jak właśnie dla m = −1 się dzieje Innymi słowy, żeby:

ax + b
	≠ k, gdzie k∊ℛ jest jakąś tam stałą − to ma być funkcja homograficzna, nie
cx + d

stała Skąd ax + b ≠ ckx + dk, czyli po prostu ax ≠ ckx i b ≠ dk a ≠ ck /: c≠0 i b≠dk /: d≠0 (***)

a		b
	≠ k i		≠ k
c		d

	a		b
A więc po prostu		≠		/*cd
	c		d

ad ≠ bc ad − bc ≠ 0 Oczywiście dzieliliśmy przez c i d, więc należy rozpatrzyć, co gdy c = 0 lub d = 0 (cofamy się do linijki (***)) dla c = 0 a ≠0k a≠0 Czyli po prostu a i c nie mogą być jednocześnie zerami, co gwarantuje nam nasz wzór ad − bc ≠ 0 Analogicznie dla d = 0 dostajemy warunek b≠0, co znowu gwarantuje nam nasz wzór (gdybyśmy podstawili pod niego a=0 i c=0 lub b=0 i d=0, to się wyzeruje) Widzisz to teraz?

Milo: Czy da się prościej... cóż, dla konkretnego przykładu (bez parametru) możesz pokombinować i

	a		b
pokazać, że		≠		czy coś,
	c		d

Ale kiedy w grę wchodzi parametr lub szczególny przypadek funkcji (kiedy któryś ze współczynników jest zerem), to to komplikuje sprawę A jeśli zapamiętasz warunek ad − bc ≠ 0, to on Ci od razu 'pokrywa' wszystkie przypadki i od razu masz to, czego potrzebujesz, więc raczej polecałbym wzór

kasia123: Dziękuję Ci za tak rozbudowaną odpowiedź! Rozjaśniła mi mózg a ta stała k może mieć np. postać 2x+7, prawda? funkcja liniowa nie będzie funkcją homograficzną

Milo: Nie, stała to akurat stała, tylko liczba − np. 2, 10, ³√7 czy π To, żeby funkcja nie była liniowa nie stała, gwarantuje nam osobny warunek c≠0 Zauważ, że faktycznie dla c = 0 mamy

ax +b		a		b		a		b
	=		x +		− liniowe (a1 =		i b1=		)
d		d		d		d		d

Zapomniałem o tym wspomnieć tam, ale na pewno miałaś też warunek, żeby c ≠ 0 gdzieś w notatkach Istotnie, zauważ że gdy c ≠ 0

	ax + b		ax		b		b
to		=		+		, i przez ten składnik		i c≠ 0
	cx + d		cx + d		cx + d		cx + d

funkcja na pewno nie będzie liniowa − bo ma x w mianowniku

Milo: Dobra, w tym ostatnim posłużyłem się pewnym skrótem.

	a
Niech		= k ⇒ a = kc
	c

	ax		b		kc		b
wówczas f(x) =		+		=		+		=
	cx + d		cx + d		cx + d		cx + d

	k(cx + d) − kd		b		kd		b
=		+		= k −		+
	cx + d		cx + d		cx + d		cx + d

Czyli istnieje szansa, że to x z mianownika nam zniknie, ale tak będzie gdy

	kd		b
−		+		= 0, a więc
	cx + d		cx + d

b = kd Ale wówczas ad − bc = (kc)d − (kd)c = 0, więc tutaj znowu ratuje nas ten warunek No i faktycznie wówczas wyszłaby funkcja stała f(x) = k, a tę opcję już przerobiliśmy Podsumowując:

	ax + b
Dla funkcji homograficznej f(x) =
	cx + d

c ≠ 0, bo wówczas otrzymalibyśmy funkcję liniową ad − bc ≠ 0, bo wówczas otrzymalibyśmy funkcję stałą

	d
I oczywiście D = ℛ \ {−		}, jak już stawiamy warunki
	c

Dobranoc

Milo:

	kcx
Zgubiłem gdzieś tam x w		, przepraszam, późno już
	cx + d

kasia123: Dziękuję bardzo!