równanie różniczkowe
mcq8888: rozwiąż równanie różniczkowe
xy' = x + 2y / :x
y' = 1 + 2y/x
t = 2y / x
2y = t*x / : 2
y = t * x / 2
Czy jest to poprawnie wykonane? Nie wiem co dalej, proszę o pomoc
7 wrz 16:07
Jerzy:
Masz równanie liniowe niejednorodne.
| 2 | |
Najpierw rozwiąż y' − |
| y = 0 , potem uzmiennisz stałą. |
| x | |
7 wrz 16:10
mcq8888: to w jakich przypadkach stosuje się to podstawienie, bo już się gubię w tym...
7 wrz 16:14
Adamm: podstawienie którego użył też jest dobre
ma potem równanie o zmiennych rozdzielonych
7 wrz 16:14
Jerzy:
Jasne , możesz też podstawić i masz: y = tx ; y' + t = xt' , czyli:
t + xt' = 1 + 2t i rozdzielasz zmienne
7 wrz 16:18
mcq8888: a nie y = 1/2 t*x ?
7 wrz 16:20
Jerzy:
Dalej:
| dt | | dt | | dt | | dx | |
t + x* |
| = 1 + 2t ⇔ x |
| = t + 1 ⇔ |
| = |
| |
| dx | | dx | | t+1 | | x | |
7 wrz 16:21
Jerzy:
| y | |
Podstawiasz: |
| = t ⇔ y = t*x |
| x | |
7 wrz 16:22
mcq8888: ale tam wychodzi 2y = t*x
7 wrz 16:23
Adamm: bez różnicy czy podstawisz 2y=t*x czy y=t*x
7 wrz 16:24
mcq8888: 2y = t*x czyli y = 1/2 t * x i jak z tego pochodną liczyc?
7 wrz 16:25
Jerzy:
| y | |
Jeśli podstawisz: 2 |
| = t ,to wyjdzie na to samo , dostaniesz równanie 16:22 |
| x | |
7 wrz 16:25
mcq8888: ale tu chyba chodzi o policzenie y a potem jego pochodnej, czyż nie?
7 wrz 16:29
7 wrz 16:32
Jerzy:
Dalej:
1 | | dt | | dx | |
| (t +xt') = 1 + t ⇔ t + xt' = 2 + 2t ⇔ xt' = t + 2 ⇔ |
| = |
| |
2 | | t+2 | | x | |
7 wrz 16:36
mcq8888: dt = ( 2 + t ) dx / x ?
7 wrz 16:55
Jerzy:
To jest dokładnie to, co Ci napisałem powyżej.
7 wrz 16:56
Jerzy:
Teraz całkujesz obustronnie.
7 wrz 16:57
mcq8888: ln | t + 2 | = ln | x | ?
7 wrz 17:06
Jerzy:
Sprawdziłem i to podstawienie prowadzi do błędnego rozwiązania.
Jednak musisz podstawić tak jak Ci podałem U{y}[x} = t
mamy: ln(t+1) = lnx + C ⇔ ln(t+1) = ln(Cx) ⇔ t + 1 = Cx ⇔ t = Cx − 1
y = x*(Cx − 1) = Cx*2 − x
i to jest prawidłowe rozwiazanie.
(policz teraz pochodną i podstaw do równania wyjściowego)
7 wrz 17:13
Jerzy:
Nie ... możesz jednak zostawic tak jak jest:
t + 2 = Cx ⇔ t = Cx − 2 , czyli: y = x(Cx − 2) = Cx2 − 2x ( i jest też dobrze )
7 wrz 17:17
jc:
xy' = x + 2y
(y/x2) ' = (xy' − 2y)/x3 = 1/x2 = − (1/x) '
y/x2 = C − 1/x
y = Cx2 − x
7 wrz 17:24