Równania ruchu Krzaku: Hej wszystkim, mam zadanie aczkolwiek nie wiem czy mogę na tym forum ale zaryzykuje: Na punkt materialny o masie 7 kg działa siła: F= 4cti + 12bt²j + 2t³k gdzie b i c to stałe . Wiedząc że w chwili t=0 punkt miał współrzędne (0, 0, 0) oraz prędkość: v(0)= 9i + 4j + 3k Znaleźć równania tego ruchu. Może ktoś się orientuje w temacie i jest skłonny do pomocy? Każdy link do jakiś przydatnych treści a może ktoś rozpisze krok po kroku jak to zrobić ? Dziękuje i pozdrawiam

Adamm: F=m*a ⇒ a=F/m

	4		12		2
a=		cti+		bt2j+		t3k
	7		7		7

całkujemy

	2		4		1
v=		ct2i+		bt3j+		t4k+v0
	7		7		14

v(0)=v₀=9i+4j+3k

	2		4		1
v=(		ct2+9)i+(		bt3+4)j+(		t4+3)k
	7		7		14

znowu całkujesz i wyznaczasz stałą z tego że x(0)=0*i+0*j+0*k

Krzaku: Dziękuje Adamm za odpowiedź, rozumiem wrór na siłę po przekształceniu lecz nie rozumiem jak zcałkowałeś v i wszystko co już jest po tym V ale może mi sie rozjaśni jak posiedzę nad zagadnieniem równań ruchu

Adamm: jak całkujesz jakiś wektor, to tak jakbyś całkował każdą współrzędną po kolei zostaje nam jakiś potem wektor stały, odpowiednik stałej całkowania

mat: osobno to co przy i, j oraz k dla przykładu:

	4
ax=		ct
	7

	4		t2		2
zatem vx=∫axdt=		c		=		ct2+const
	7		2		7

ale v_x(0)=9, zatem const=9, więc

	2
vx=		ct2+9
	7

	2		t3
x=∫vxdt=		c		+9t+const
	7		3

	2
x=		ct3+9t+const
	21

x(0)=0 −−>const=0

	2
x=		ct3+9t
	21

analogicznie: a_y, v_y, y a_z, v_z, z

Mila: Jak poszło Ci na egzaminie?

Krzaku: Dziękuje Wam za pomoc, będe pytać wrazie czego Dziękuje Mila że pytasz, matematyka zdana wczoraj chciałem się dopomóc dwoma zadaniami tutaj na forum ale i bez tego się obeszło

Mila: To pięknie Matematykę wpisuj na bieżąco, aby znowu nie było poprawki.

Krzaku: Będe się starał, matematyki jako przedmiotu już nie będzie bo tylko na pierwszym roku studiów ale matematyka sama w sobie zapewne będzie, nie ukrywam że jeśli chodzi o mnie to z matematyką od zawsze miałem problemy jak coś będzei to będe pytać teraz muszę nad tym posiedzieć (mechanika techniczna)

Mila: Powodzenia

Krzaku: Dziękuje

Krzaku: Hej wszystkim, przepraszam że o tej porze ale jakoś tak mnie naszło, więc nie wiem czy dobrze ale zrobiłem to tak: Vx= ²₇c ^t3₃ + 9i = ²₂₁ ct³ + 9 x= ∫ Vx dt = ²₂₁ ct³ + 9t Vy= ⁴₇bt³ + 4j = ¹₇ bt⁴ +4 y= ∫ Vy dt = ¹₇ b ^t5₅ + 4 = ¹₃₅ bt⁵ + 4t Vz= ¹₁₄ t⁴ + 3 = ¹₁₄ ^t5₅ + 3 = ¹₇₀ t⁵ + 3 z= ∫ Vz dt = ¹₇₀ ^t6₆ + 3t = ¹₄₂₀ t⁶ + 3t Jeżeli jest dobrze to co dalej ?

Adamm: jest źle

Krzaku: A co robię źle?

Krzaku:

Adamm: napisz mi po kolei jak doszedłeś do takiego wyniku

Adamm: druga sprawa na forum ułamki lepiej pisać dużym u U { } { }

1
	jest bardziej widoczne niż 12
2

Krzaku:

	4
Hej, przepraszam za dzień zwłoki, no więc tak, miałem		cti no to zcałkowałem więc wyszło
	7

:

	4		4		1		2
∫		cti =		c *		t2 =		ct2 + C (zrobiłem tak samo dla kolejnych po czym
	7		7		2		7

kolega mat pokazał że należy podstawić za x V(0)=9 za y V(0)=4 za z V(0)=3 −−−−−−−−−−−−−−−−−>

	2
Vx=		ct2 + 9 (teraz z Vx kolejna całka ) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−>
	7

	2		1		2
∫Vx =		c*		t3 + 9 =		ct3 + 9 Czyli to jest ten X
	7		3		21

Zapewne źle

Krzaku:

Adamm: 1. gdzie jest stała 2. źle scałkowałeś V_x, jeszcze raz

Adamm: no i jeszcze można dodać 3. brak różniczki ∫V_x dt

Adamm:

	2		2
x=∫Vxdt=∫		ct2+9 dt =		ct3+9t+C
	7		21

z treści x(0)=0 więc x=...?

Adamm: po tym jak to przetrawisz i obliczysz, to pokaż mi jak liczysz y

Krzaku: a dlaczego przy 9 jest t ?

Adamm: (c)'=? c jest jakąś stałą (t)'=? t jest zmienną

Adamm: ile wynoszą te pochodne

Krzaku:

	2		2
∫Vx dt = ∫		ct2 + 9dt =		ct3 + 9t
	7		21

	2
x=		ct3+9t
	21

	4		1
∫Vy dt = ∫		bt3 + 4dt =		bt4 + 4t
	7		7

	1
y=		bt4 + 4t
	7

	1		1
∫Vz dt = ∫		t4k + 3dt =		t5k + 3t
	14		70

	1
z=		t5k + 3t
	70

Teraz dobrze ?

Adamm: źle nie ma stałej całkowania

Krzaku: wiem co to jest stała ale nie rozumiem tego że jej nie ma, nie ma jej na końcu czy gdzie ?

Krzaku: aaaaa

Krzaku: w sensie że na końcu nie ma : +C ?

Adamm: całka to nie jest jedna funkcja tylko zbiór funkcji zawsze na końcu piszesz "+c" bez tego zadanie jest kompletnie źle

Adamm: nie zdanie jest bez sensu, tylko rozwiązanie

Krzaku: czyli :

	2
x=		ct3+9t+C
	21

	1
y=		bt4+4t+C
	7

	1
z=		t5k+3t+C
	70

teraz dobrze ?

Adamm: dlatego tam masz podane że v(0)=... i że dla t=0 ten punkt ma współrzędne (0; 0; 0) by konkretnie te funkcje wyznaczyć

Adamm: źle

Adamm: jeszcze wcześniej całkowałeś, i bez stałej

Krzaku: nie rozumiem, teraz to już się pogubiłem

Krzaku: czekaj czekaj czyli za t musze podstawić wartość ?

Adamm: nie, jednak dobrze ale tam w 3 całce (V_z) nie powinno być tego k teraz skoro dla t=0 mamy (0; 0; 0) to dla t=0 powinniśmy mieć odpowiednio x=0, y=0, z=0 wyznaczaj stałe

Krzaku:

	2
v(0)=		*03+ 9*0 =0 ? o coś takiego chodzi ? boc i b to stałe więc pomijam
	21

Adamm: nie v tylko x, y, z!

Krzaku: aaaa dobrze już chyba rozumiem !

	1
poprawiam : ∫Vz dt =		t5 + 3t + C
	70

t=0 (0,0,0)

	2
x=		*03+9*0=0
	21

	1
y=		*04+4*0=0
	7

	1
z=		*05+3*0=0
	70

Adamm: dla t=0 powinno być x=c₁ y=c₂ z=c₃ (odróżniamy stałe dla większej formalności) i wszystkie mają być równe 0, więc c₁=0, c₂=0, c₃=0 czyli x=..., y=..., z=... już napiszesz ty

Krzaku: ale dobrze podstawiłem za ,,t'' ? czyli: X= .....+C₁ y=......+C₂ z=.....+ C₃ Przepraszam za zwłokę lecz miałem zadanie w domu do wykonania

Adamm: dobrze, tylko jest bez stałej ze stałą będzie tak jak w 22:04 skąd c₁=0, c₂=0, c₃=0 i teraz podaj x, y, z

Krzaku:

	2
x=		ct3 + 9t +C1
	21

	1
y=		bt4 + 4t +C2
	7

	1
z=		t5 + 3t +C3
	70

o to chodzi ?

Adamm: tak, teraz podstaw, przyrównaj do 0

Krzaku: t=0 b=0 c=0 c₁=0 c₂=0 c₃=0 −−−−−−−−−−−>

	2
x=		*03+9*0+0 = 0
	21

	1
y=		*04+4*0+0 = 0
	7

	1
z=		*05+3*0+0 = 0
	70

Adamm: dlaczego b=0, c=0? dlaczego c₁=0, c₂=0, c₃=0? to że c₁=0, c₂=0, c₃=0 masz policzyć

Krzaku: już jestem,o kurcze ale że jak ?

Krzaku: no bo było na początku zadania że b i c to stałe

Adamm: co ma piernik do wiatraka

Krzaku: no teraz to nie wiem dobra więc jak wyliczyć że c1 c2 c3 są równe 0 ? co i gdzie mam podstawić ? dziękuje za cierpliwość do mnie bo naprawde jestem oporny

Krzaku: mam x,y,z co dalej ?

Adamm: popatrz na swój post 22:39 podstaw t=0 pod x, y, z potem przyrównaj do zera x=0, y=0, z=0

Krzaku:

	2
x=		c*03+9*0+C1
	21

	1
y=		b*04+4*0+C2
	7

	1
z=		*05+3*0+C3
	10

tak ma być ?

Adamm: tak teraz to co ci wyszło podstawiasz do 0

Adamm: przyrównujesz, znaczy się

Krzaku:

	2		1		1
v(0)=(		c*03+9*0+C1,		b*04+4*0+C2,		*05+3*0+C3)
	21		7		10

coś takiego ? czy może: X=C₁ y=C₂ z=C₃

Krzaku: bo wiadomo jak sie wymnoży to wszystko przez zero to jest zero a zostają tylko te stałe c1 c2 i c3

Adamm: żadne v! to są składowe wektora położenia! teraz przyrównujesz x=0, y=0, z=0 i tak wyliczasz stałe c₁, c₂, c₃

Krzaku: czyli:

2
	c*03+9*0+c1=0
21

1
	b*04+4*0+c2=0
7

1
	*05+3*0+c3=0
10

tak ?

Adamm: tak no i teraz c₁=0, c₂=0, c₃=0 więc podaj x, y, z po wyznaczeniu stałych

Krzaku: czyli po prostu mnożę lewą stronę równań ? bo jeżeli tak to tam zostają tylko kolejno stałe c1 c2 i c3 czy to nie chodzi o to ?

Krzaku: nie do końca rozumiem jak mam podać x,y,z czyli x=C₁ y=C₂ z=C₃ ?

Adamm: to są wartości x, y, z dla t=0 ty masz podać dla dowolnego t, wiedząc że c₁=0, c₂=0, c₃=0

Krzaku: czyli teraz za t mogę dać dowolną liczbę ? porzykładowo dla t=1 =....

Adamm: nie t zostaw w spokoju popatrz na swój post 22:39 podstaw c₁, c₂, c₃ które ci wyszło i podaj x, y, z tutaj

Krzaku: np. t=1

	2
x=		c*13+9*1+C1 =....
	21

Krzaku: już już chwilka

Krzaku: dobra więc tak : c1=0 c2=0 c3=0

	2
x=		ct3+9t+0
	21

	1
y=		bt4+4t+0
	7

	1
z=		t5+3t+0
	70

cały czas mam wrażenie że w krąże wokół tego samego niemogąc dojść do rozwiązania

Adamm: tak trochę jest no i tyle

	2		1		1
x=		ct3+9t, y=		bt4+4t, z=		t5+3t
	21		7		70

lub w postaci wektora

	2		1		1
x(t)=[		ct3+9t;		bt4+4t;		t5+3t]
	21		7		70

KONIEC

Krzaku: Bardzo ale to bardzo Ci Adamm dziękuje, za to że poświęciłeś mi tyle czasu na pomoc