Potęgi o różnych wykładnikach - pytania do zadań Michał: Cześć Mam dwa pytanka... 1. Robiłem niedawno pare przykładów z potęg o różnych wykładnikach. I trafiłem na taki przykład :

5x3*x−6*/x−9
x−4/x

Rozwiazłem go dobrzebo wyszło mi : 5x¹¹ − co jest dobrym wynikiem zgodnym z odpowiedzią. Jednak w czasie robienia zadania zastanawiałęm się czy mogę wykonać pewna operację, a mianowicie czy mogę "5" wyrzucić przed ułamek? Czy jezeli tak zrobię to jest wszystko ok? Czy po prostu może mam szczęscie głupiego i jest takie zadanie ze akurat odpowiedź się pokryła z moim błędnym rozumowania? (czyli czy dobrze to wygląda?:

	x3*x−6/x−9
5		?)
	x−5

2. Drugi przykład, także rozwiązałem prawdiłowo, ale nie wiem czy moje operacje, które wykonalem były prawidłow, czy wolno tak robić... Rozpisze mój tok rozumowania proszę o poprawienie mnie, jeżeli to będzie konieczne, lub potwierdzenie, że akurat tym razem mi się poszczęściło.

	k		l3
PRZYKŁAD : (		)−1*(		)−2/(km)−3
	l2		m

Najpierw pozbywam się poteg które są przed nawiasami wrzucając je do ułamków... (to jest chyba dobrze)

	k−1		l−6
=		*		/k−3m−3
	l−2		m−2

I teraz coś co nie wiem cz dobrze robię... czyli zaczynam łączyć te wyrażenia...

	k−1l−6
=		/k−3m−3
	l−2m−2

No i teraz najwiekszy problem, a mianowicie czy mogę sobie pozwolic na połączenie l z licznika z l z mianownika? Jezeli tak to potem wyrzucam to "l" przed ułamek?(Czemu nie zostawie w mianowniku)

	k−1
l−4		/k−3m−3
	m−2

ok dalej.... K z licznika łącze z k⁻³ a m z mianownika łącze z m⁻³ i wszystko zapisuje w liczniku. Z tym etapem miałem największy problem zeby go zaakceptować jako prawidłowy w mojej głowie bo jakieś wewnętrzne przeczucie mówi mi że to jest źle. l⁻⁴k²m⁵ <−−− To jest odpowiedź prawidłowa, ale czy sposób w jaki do niej doszłem jest całkowicie prawidłowy? To tyle, byłbym wdzięczny za wytłumaczenie Pozdrawiam cieplutko Michał

Pytający: 1. Jak najbardziej dobrze, przecież tam masz zwykłe mnożenie, a mnożenie jest przemienne:

abc		bc		1		b*a
	=a*		=c*		*
de		de		e		d

itp. 2. Masz błąd w zapisie, bo zapomniałeś o nawiasie ze względu na kolejność działań, tzn.:

	k		l3
(		)−1*(		)−2/(km)−3=
	l2		m

	k−1		l−6
=		*		/(k−3m−3)=
	l−2		m−2

	k−1   l−6   * l−2   m−2
=
	k−3m−3

Zapis bez nawiasu znaczy co innego:

k−1		l−6
	*		/k−3m−3=
l−2		m−2

	k−1		l−6
=		*		/k−3*m−3=
	l−2		m−2

	k−1   l−6   * *m−3 l−2   m−2
=
	k−3

Generalnie policzyłeś dobrze pomimo złego zapisu (bez nawiasu), bo ów zapis potraktowałeś, jakby ten nawias tam był (bo być powinien). Co do zostawiania w mianowniku/liczniku czy "wyrzucania" przed ułamek: pełna dowolność, byleby każdy zapis był równoznaczny. Przykładowo:

k−5		1   k5		1		1		k2
	=		=k−5*		=		*		=
k−2		1   k2		1   k2		k5		1

	k2		1
=		=		=k−3
	k5		k3

lub szybciej:

k−5
	=k−5−(−2)=k−3
k−2

Zwyczajnie trzymaj się kolejności działań i będzie dobrze.

Michał: @Pytający Kurcze tam masz racje, nie wziąłem tego nawiasu pod uwagę myślałem że jak, potęgę wrzucę do nawiasu to mogę go opuścić, no a przeciez wtedy to zupełnie inne działanie, niż gdybym go zostawił, dzięki Ci wielkie, oświeciłeś mnie Co do przemienności mnożenia zdawałem sobie z tego sprawę, lecz jak widzisz w przykładzie powyżej pojawia się też dzielenie zrobiłem tam drobną literówkę gdyż napisałem: x⁻⁶*/x⁻⁹ <−−− mnożenie czy dzielenie? O co mi chodziło... x⁻⁶/x⁻⁹ <−−− tak powinno tam być, sorry nie zauważyłem tego od razu W kazdym razie szkopułem dla mnie i bólem było to ze oprócz mnożenia w tym przykładzie pierwszy na równie jest również dzielenie i czy wyciągnięcie tej 5 i zostawienie jej na koniec nie zmienii ostatecznego wyniku, tego się obawiałem, bo wedlug kolejności wykonywania działań powinienem był to zrobić od lewej do prawej, ja natomiast, tak zrobiłem pomijając piątkę i zostawiając na koniec... Czyli tam jest tak (pomińmy mianownik): 5x³*x⁻⁶/x⁻⁹ =5 x⁶ <−−−− piątka pominięta podczas łączenia potęg Czyli to jest poprawne rozumowanie jak mniemam? A co do mojego "wyrzucania" to już czaje, rozumiem, ten przykład który podałeś świetnie zobrazował mi to czego, nie wiedziałem, dzięki wielkie za pomoc, bardzo doceniam to że poświeciłeś swój czas odpowiadając na moje pytanie tak rzetelnie, dzięki stary −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Żeby nie zakładać specjalnie nowego tematu, postanowiłem zadać tu jeszcze pare pytań... 1. Z powodu mojej niewiedzy nie wiem czemu w pewnym zadaniu jest takie założenie : przykład 1.1: x^1₂*x^1₃ policzenie to nie problem ale założenie x≥0 <−− x pod pierwiastkiem nie moze byc ujemny dla tego wiekszy od 0, ale czemu moze byc tez równy? Wpisujac na necie sqrt(0) wyskakuje mi 0, czyli jezeli dobrze rozumiem pierwiastek z 0 normalnie obowiązuje dla tego x≥0? przykład 1.2: ³√x²*x⁻¹*√x = (...) =x^1₆ założenie x>0 to też jest x pod pierwiastkiem czyli musi byc wiekszy od 0 ale nie moze byc równy zero? Czemu skoro w przykładzie 1.1 mógł wynosić 0, potęga jest parzysta więc chyba nic się nie zmieniło (CHYBA)?

	1
przykład 1.3: 3√ab−2/(a−2b)13 =(...)=a		założenie to b=/=0 i a=/=0
	b

ok tutaj b jest w mianowniku dla tego nie moze wynosic 0 ale czemu a nie moze byc 0? Skoro jest w liczniku? Wydaje mi sie ze w liczniku zero moze sie normalnie pojawiać. Ok i ostatnie pytanie odnośnie założeń jeżeli w trakcie liczenia np mamy

	a
....		+√c .... a wynikiem jest dajmy na to = c to czy założeniu uwzględniam to ze
	b

b było w mianowniku w czasie rozwiazywania zadania oraz że c było pod pierwiastkiem? (założenie b=/=0 c>0 czy brak założenia, patrzę na sam wynik?) 2. Nie mogę sobie poradzić z paroma przykładami, jakby ktoś mógł je rozwiązać, albo mi pokazać pierwsze kroki, byłbym wdzięczny... Bo ja nie wiem straciłem wenę i brak mi pomysłu jak to zrobić : Przykład 2.1 3^1₈*12^3₄/√8 = ? Ja próbowałem zrobić wspólną potęgę, ale jakoś mi to nie wychodzi... (wyglądało to tak 3^1₈*144^3₈/8^1₂) Przykład 2.2 ((x−1)^1₂+(x+1)^1₂)² = ? mi wychodziło tak (odpowiedź jest inna) =(x^1₂−1+x^1₂+1)² =(x^1₂+x^1₂)² No i kaplica. Co teraz ? Niby (x^1₂+x^1₂)²=x ² Tyle że to źle, może jakiś wzorek skróconego mnożenia czy coś, bo samo się aż ciśnie tylko nie za bardzo wiem jak to wkomponować... Rady ? No i w sumie to na razie tyle, mam jeszcze pare pytań ale postaram się sam dojśc do rozwiązania ich. Dziękuję wszystkim, którzy poświęcają swój czas, aby zapoznać się z moimi problemami, jestem bardzo wdzięczny za każdą pomoc Tak że z góry dziękuję no i jeżeli bylibyście tak mili proszę o rady/pomoc/rozwiązanie

Pytający: Czasem lepiej zwyczajnie napisać nowy post − ten jakoś zupełnie mi umknął. Jeszcze do poprzedniego pytania: dzielenie to mnożenie przez odwrotność. A poza tym, mnożenie jest też łączne, więc możesz śmiało "pomijać" piątki czy cokolwiek innego "na początku": a*(b*c)=(a*b)*c=b*(a*c) 1. Założenie dla pierwiastków stopnia parzystego (2,4 itd.): x≥0. Założenie dla pierwiastków stopnia nieparzystego (3,5 itd.): x∊ℛ. W przykładzie 1.1 masz zatem jedynie założenie co do pierwiastka kwadratowego. W przykładzie 1.2 masz założenie co do pierwiastka kwadratowego oraz nie możesz dzielić przez

	1
zero, stąd odpada zero (x−1=		).
	x

1.3 Założenia robisz na początku, a nie po uproszczeniach i otrzymaniu wyniku.

3√ab−2		a   ( )1/3   b2
	=
(a−2b)1/3		b   ( )1/3   a2

Zapisałem inaczej, coby lepiej widać było potrzebne założenia (nic nie uprościłem/skracałem itp.):

	b
b2≠0 ⋀ a2≠0 ∧(		)1/3≠0 ⇒ a≠0 ∧ b≠0
	a2

Ponownie, założenia na początku (bądź dodatkowe w trakcie, jeśli rozważasz jakieś przypadki czy coś po drodze).

a
	+√c, założenia: b≠0 ⋀c≥0
b

2.1: 3^1/8*12^3/4/√8= =3^1/8*(3*4)^3/4/8^1/2= =3^1/8*(3*2²)^3/4*8^−1/2= =3^1/8*3^3/4*(2²)^3/4*(2³)^−1/2= =3^1/8+3/4*2^3/2*2^−3/2= =3^7/8 2.2: Założenia: x−1≥0 ⋀ x+1≥0 ⇒ x≥1 ((x−1)^1/2+(x+1)^1/2)²= // (a+b)²=a²+2ab+b² =((x−1)^1/2)²+2(x−1)^1/2(x+1)^1/2+((x+1)^1/2)²= // a^cb^c=(ab)^c =(x−1)+2((x−1)(x+1))^1/2+(x+1)= // (a−b)(a+b)=a²−b² =x−1+x+1+2(x²−1)^1/2= =2x+2(x²−1)^1/2= =2(x+√x²−1)

Michał: @Pytający Kurczeeee Nie sądziłem, że ktoś jeszcze na to odpowie. Pozytywnie się zaskoczyłem, dzięki pytający Doceniam, to że tak ładnie mi to wytłumaczyłeś (raz jeszcze), wszystko już rozumiem i jestem świadom swoich dotychczasowych błedów w interpretacji. Oprócz tego fajnie rozpisaleś te dwa zadanka nie wpadłem na to żeby 2.1 tak rozpisać... W ogóle jak robiłem tego typu zadanka z podręcznika (szkoła średnia) to podejście jakie mi tutaj pokazałeś, nie było ani razu konieczne do zastosowania bo wszystko wychodziło, poprzez manipulacje potęgami. Tylko ten jeden przykład taki się trafił. No i w 2.2 kurcze, muszę ewidetnie poćwiczyć wzory skróconego mnożenia, bo to nie jest w ogóle skomplikowane... Po prostu wystarczyło, abym sobie to rozpisał krok po kroku, na spokojnie, tak jak ty zrobiłes i chyba dotarłbym do celu (chyba ). W każdym razie dzięki za pomoc, bo bardzo mi pomogłeś, ogarnać coś i zwrócić uwagę na to co pownienem już umieć dawno temu Jedna zaległość mniej do nadrobienia. Dzięki, raz jeszcze, za stoicki spokój. Niech moc będzie z Tobą.

Pytający: Proszę bardzo, miło się czytało. I też jestem zaskoczony, że jeszcze zajrzałeś do tego postu (i to tak szybko).