Udowodnij rozbieżność ciągu
Andrzej: Korzystając z odpowiednich definicji, wykaż ,że ciąg o wyrazie ogólnym:
a) a
n=2n
2+1 jest rozbieżny do +
∞
M należy do R
2n
2+1<M
2n
2<M−1
Wykazałem ,że ....
| n2+1 | |
b) an= |
| jest rozbieżny do +∞ |
| n | |
i niestety nie wiem jak się za to zabrać
6 wrz 15:04
Adamm: no nie
skoro ma być rozbieżny do ∞, to dla każdej liczby rzeczywistej M, ma być
2n2+1>M dla każdego n≥n0, n0∊ℕ
wskaźnik n0 możemy tak obrać by było n0=[M]+1 dla M≥0 oraz n0=1 dla M<0
wtedy
2n2+1>n≥M
więc dla każdego M∊ℛ, istnieje taki n0 (takim n0 jest [M]+1), że 2n2+1>M
zatem granica tego ciągu to ∞ z definicji
6 wrz 15:24
Milo: Hej
![emotka](emots/1/wesoly.gif)
Czy ktoś znający się na takich dowodach mógłby sprawdzić poprawność tego?
Pięknie proszę ^^
| 1 | |
n + |
| > M <− chcemy pokazać, że to zachodzi od pewnego n0 |
| n | |
| 1 | |
n + |
| > n <− prawdziwe dla każdego naturalnego n |
| n | |
Ciąg b
n = n jest oczywiście rozbieżny do nieskończoności (przyjmujemy np. n
0 = M lub n
0 =
[M] + 1, jeśli koniecznie chcemy n
0∊ℕ)
Więc:
n > M zachodzi dla każdego n ≥ n
0
| 1 | |
n + |
| > n zachodzi dla każdego naturalnego n |
| n | |
| 1 | |
Więc n + |
| > n > M zachodzi dla każdego n ≥ n0, q.e.d |
| n | |
6 wrz 15:45
kochanus_niepospolitus:
Milo ... okey.
Bym to trochę inaczej napisał (kolejność) co by to 'ładniej wyglądało', ale ogólnie jest okey.
6 wrz 16:08
kochanus_niepospolitus:
Ja bym to napisał w taki sposób:
∀
M>0 ∃
n0 ∀
n>n0 a
n > M
wybieramy M>0
niech n
0 = [M] + 1
| 1 | | 1 | |
an = n + |
| > n0 + |
| > n0 = [M] + 1 > M |
| n | | n0 | |
należy jeszcze pokazać, że:
jeżeli a > b ∧ a,b ∊ N
+ to:
| 1 | | 1 | | a−b | | 1 | |
a + |
| > b + |
| ⇔ (a−b) > |
| ⇔ 1 > |
| ⇔ ab > min{a,b} ≥ 1 |
| a | | b | | ab | | ab | |
6 wrz 16:16
Milo: Dzięki wielkie
![emotka](emots/1/wesoly.gif)
Faktycznie ładniej, czytelniej
6 wrz 19:25