matematykaszkolna.pl
dowodnij, że (x-y)(y-z)(z-x) jest podzielne przez 24 lola: liczby x,y,z to liczby pierwsze wiekszke od 5. Udowodnij, że (x−y)(y−z)(z−x) jest podzielne przez 24
5 wrz 19:11
Adamm: x, y, z>5 wszystkie z liczb x, y, z są nieparzyste zatem x−y oraz y−z oraz z−x dzielą się przez 2, i całe wyrażenie jest podzielne przez 8 dalej, wszystkie z liczb x, y, z dają reszty 1 lub 2 z dzielenia przez 3 więc albo 2 z nich dają reszty 1, i ich różnica dzieli się przez 3, albo 2 z nich dają reszty 2, i ich różnica też daje resztę 3 więc całość dzieli się przez 24
5 wrz 19:15
karty do gry : W = (x−y)(y−z)(z−x) Skoro x,y,z są liczbami pierwszymi większymi od 5 to każda z nich jest liczbą nieparzystą. Różnica dwóch liczb nieparzystych jest liczbą parzystą, stąd podzielność W przez 8. Aby zobaczyć podzielność przez 3 wystarczy zauważyć, że x,y,z musza być w postaci 3k + 1 lub 3k + 2 czyli przynajmniej dwie z nich będą w postaci 3k + 1 lub 3k + 2 stąd ich różnica będzie podzielna przez 3. Ergo 24 | W
5 wrz 19:18
lola: a przez 96?
5 wrz 19:19
Adamm: przez 96 nie przykład x=7, y=11, z=13 ale przez 48 już tak
5 wrz 19:28
lola: a 48?
5 wrz 19:28
lola: + nie rozumiem z tą podizelonciua przez 3 wytłumaczy kotś. Będę wdzięczny
5 wrz 19:28
Adamm: przez 48 mamy tak liczby pierwsze są postaci 4k+1 lub 4k+3 co najmniej 2 z nich muszą być tej samej postaci, więc ich różnica dzieli się przez 4
5 wrz 19:29
lola: nierozmuiem:(
5 wrz 19:31
Adamm: jeśli każde 2 z nich nie byłyby wspólnych postaci (nie dawałyby takich samych reszt z dzielenia przez 3) to jeśli na przykład x dawałoby resztę 1, to y musiałoby dawać resztę 2, ale wtedy z musiałoby dawać resztę różną od 1 i różną od 2, więc musiałoby być podzielne przez 3, ale tak być nie może podobnie z resztami przez 4
5 wrz 19:33
adrain k: czyli jesli2 beda dawały ta sama reszte to musi byc przez 3?
5 wrz 19:36
Milo: Tak, zobacz na przykładzie: x = 3k + 2 y = 3l + 2 dla pewnych całkowitych k,l (definicja dzielenia z resztą) (tzn. x przy dzieleniu przez 3 daje liczbę całkowitą k i resztę 2) Wówczas x − y = 3k + 2 − (3l + 2) = 3k + 2 − 3l − 2 = 3(k − l) k−l jest różnicą liczb całkowitych, jest więc całkowita x − y dzieli się więc przez 3 (bo jest równe 3(k − l), a k − l jest całkowite) Oczywiście gdyby dawały resztę 1, byłoby analogicznie Widzisz to teraz? emotka
5 wrz 19:41
lola: ale milo dlaczego x = 3k + 2 y = 3l + 2 skąd to masz?
5 wrz 19:44
Milo: To jest przykład. Chodzi o to, że dwie z liczb x,y,z dają tę samą resztę z dzielenia przez 3 (równą 1 lub 2) Dlaczego? Bo są całkowite, więc muszą dawać jedną z reszt: 0,1,2 Ale nie mogą dawać 0, bo są pierwsze i większe od 3, więc niepodzielne przez 3 Niech k,l,m∊ℤ Więc x = 3k + r1; r1∊{1,2} y = 3l + r2; r2∊{1,2} i r2≠r1 Ale wtedy 1) z = 3m + r1 lub 2) z = 3m + r2 W sytuacji 1) z − x = 3(m − k), więc (z−x) dzieli się przez 3, więc cały iloczyn W dzieli się przez 3 W sytuacji 2) y − z = 3(l − m), więc (y−z) dzieli się przez 3, więc cały iloczyn W dzieli się przez 3 W obu sytuacjach któryś czynnik jest podzielny przez 3, więc cały iloczyn także Oczywiście istnieje też opcja, że wszystkie 3 dają tę samą resztę z dzielenia przez 3, wtedy zamiast r2 byłoby wszędzie r1, jeszcze prościej emotka
5 wrz 19:54
hugo: może ktoś pokazać to wykorzystując postaci liczb 6n +1 i 6h+5
6 wrz 18:30
αβγδπΔΩinnerysuję
Φεθμξρςσφωηϰϱ
±
imię lub nick
zobacz podgląd
wpisz,
a otrzymasz
5^252
2^{10}210
a_2a2
a_{25}a25
p{2}2
p{81}81
Kliknij po więcej przykładów
Twój nick