dowodnij, że (x-y)(y-z)(z-x) jest podzielne przez 24
lola: liczby x,y,z to liczby pierwsze wiekszke od 5. Udowodnij, że (x−y)(y−z)(z−x) jest podzielne
przez 24
5 wrz 19:11
Adamm: x, y, z>5
wszystkie z liczb x, y, z są nieparzyste
zatem x−y oraz y−z oraz z−x dzielą się przez 2,
i całe wyrażenie jest podzielne przez 8
dalej, wszystkie z liczb x, y, z dają reszty 1 lub 2 z dzielenia przez 3
więc albo 2 z nich dają reszty 1, i ich różnica dzieli się przez 3, albo 2 z nich dają reszty
2,
i ich różnica też daje resztę 3
więc całość dzieli się przez 24
5 wrz 19:15
karty do gry : W = (x−y)(y−z)(z−x)
Skoro x,y,z są liczbami pierwszymi większymi od 5 to każda z nich jest liczbą nieparzystą.
Różnica dwóch liczb nieparzystych jest liczbą parzystą, stąd podzielność W przez 8.
Aby zobaczyć podzielność przez 3 wystarczy zauważyć, że x,y,z musza być w postaci 3k + 1 lub 3k
+ 2 czyli przynajmniej dwie z nich będą w postaci 3k + 1 lub 3k + 2 stąd ich różnica będzie
podzielna przez 3.
Ergo 24 | W
5 wrz 19:18
lola: a przez 96?
5 wrz 19:19
Adamm: przez 96 nie
przykład
x=7, y=11, z=13
ale przez 48 już tak
5 wrz 19:28
lola: a 48?
5 wrz 19:28
lola: + nie rozumiem z tą podizelonciua przez 3 wytłumaczy kotś. Będę wdzięczny
5 wrz 19:28
Adamm: przez 48 mamy tak
liczby pierwsze są postaci 4k+1 lub 4k+3
co najmniej 2 z nich muszą być tej samej postaci, więc ich różnica dzieli się przez 4
5 wrz 19:29
lola: nierozmuiem:(
5 wrz 19:31
Adamm: jeśli każde 2 z nich nie byłyby wspólnych postaci (nie dawałyby takich samych reszt
z dzielenia przez 3) to jeśli na przykład
x dawałoby resztę 1, to y musiałoby dawać resztę 2, ale wtedy z musiałoby dawać resztę
różną od 1 i różną od 2, więc musiałoby być podzielne przez 3, ale tak być nie może
podobnie z resztami przez 4
5 wrz 19:33
adrain k: czyli jesli2 beda dawały ta sama reszte to musi byc przez 3?
5 wrz 19:36
Milo: Tak, zobacz na przykładzie:
x = 3k + 2
y = 3l + 2
dla pewnych całkowitych k,l (definicja dzielenia z resztą)
(tzn. x przy dzieleniu przez 3 daje liczbę całkowitą k i resztę 2)
Wówczas x − y = 3k + 2 − (3l + 2) = 3k + 2 − 3l − 2 = 3(k − l)
k−l jest różnicą liczb całkowitych, jest więc całkowita
x − y dzieli się więc przez 3 (bo jest równe 3(k − l), a k − l jest całkowite)
Oczywiście gdyby dawały resztę 1, byłoby analogicznie
Widzisz to teraz?
5 wrz 19:41
lola: ale milo dlaczego x = 3k + 2
y = 3l + 2 skąd to masz?
5 wrz 19:44
Milo: To jest przykład. Chodzi o to, że dwie z liczb x,y,z dają tę samą resztę z dzielenia przez 3
(równą 1 lub 2)
Dlaczego? Bo są całkowite, więc muszą dawać jedną z reszt: 0,1,2
Ale nie mogą dawać 0, bo są pierwsze i większe od 3, więc niepodzielne przez 3
Niech k,l,m∊ℤ
Więc x = 3k + r
1; r
1∊{1,2}
y = 3l + r
2; r
2∊{1,2} i r
2≠r
1
Ale wtedy 1) z = 3m + r
1 lub 2) z = 3m + r
2
W sytuacji 1) z − x = 3(m − k), więc (z−x) dzieli się przez 3, więc cały iloczyn W dzieli się
przez 3
W sytuacji 2) y − z = 3(l − m), więc (y−z) dzieli się przez 3, więc cały iloczyn W dzieli się
przez 3
W obu sytuacjach któryś czynnik jest podzielny przez 3, więc cały iloczyn także
Oczywiście istnieje też opcja, że wszystkie 3 dają tę samą resztę z dzielenia przez 3, wtedy
zamiast r
2 byłoby wszędzie r
1, jeszcze prościej
5 wrz 19:54
hugo: może ktoś pokazać to wykorzystując postaci liczb 6n +1 i 6h+5
6 wrz 18:30