Geometria analityczna
K: Z punktu A(2,9) poprowadzono proste styczne do okręgu (x+3)2+(y−2)2=25, odpowiednio w
punktach K oraz L. Oblicz długość odcinka KL.
środek okręgu S(−3,2)
promień r=5
Problemem jest znalezienie punktów styczności prostych do okręgu, nie wiem jakim sposobem
móglbym to zrobić.
5 wrz 19:02
Mila:
![rysunek](rys/133465.png)
A(2,9), S(−3,2)
Jeden punkt styczności widać, ale liczymy dalej
Styczna:
s: y=ax+b i P∊s
s: ax−y+b=0, a*2−9+b=0, b=9−2a
s: ax−y+9−2a=0 równanie stycznej w postaci ogólnej
d(s,S)=5 odległość stycznej od środka okręgu jest równa r.
|−5a+7|=5*
√a2+1 /
2
25a
2−70a+49=25a
2+25
−70a=−24
Licz dalej sam, będę za pół godziny.
5 wrz 19:28
K: | 12 | | 11 | |
W takim razie wzór prostej s: y= |
| x+8 |
| ? |
| 35 | | 35 | |
5 wrz 20:01
Mila:
I teraz punkt przecięcia tej prostej z okręgiem. Oblicz.
Zaraz podam II sposób.
5 wrz 20:03
Mila:
Masz odpowiedź do zadania?
5 wrz 20:07
K: Niestety nie mam.
5 wrz 20:08
K: Jak wyjdzie jakiś ułamek to najwyżej sprawdze sobie w geogebrze dokładnie.
5 wrz 20:09
Mila:
Sprawdzam rachunki, bo coś "nieładny" mam wynik.
5 wrz 20:16
Mila:
Pisz co Ci wyszło.
5 wrz 20:17
5 wrz 20:23
K: Znaczy nie K, tylko L. Na moim rysunku mam inaczej nazwane punkty styczności.
5 wrz 20:27
Mila:
Źle, popatrz na rysunek, punkt ten jest daleko poza okręgiem
5 wrz 20:34
Mila:
II sposób
P(2,9), S(−3,2)
K=(2,2)
1) prosta PS:
y=ax+b,
9=2a+b
2=−3a+b
7=5a
| 7 | | 7 | | 7 | | 31 | |
a= |
| , y= |
| x+b , 9= |
| *2+b, b= |
| |
| 5 | | 5 | | 5 | | 5 | |
5y=7x+31
k: 7x−5y+31=0
Odległość K=(2,2) od tej prostej k:
| |7*2−5*2+31| | | 35 | |
d(K(2,2),k)= |
| = |
| |
| √72+52 | | √74 | |
| 70 | | 35√74 | |
|KL|=2d= |
| = |
| |
| √74 | | 37 | |
5 wrz 20:44
K: Punkt przecięcia obliczyłem podstawiając dwa równania do siebie:
ax−y+9−2a=0
12x+88=12x−35y+315−24
35y=203
y=5,8
i po podstawieniu x=9
712
5 wrz 20:58
Mila:
Punkt przecięcia stycznej z okręgiem:
(x+3)
2+(y−2)
2=25
| 12 | | 11 | |
x2+6x+9+( |
| x+8 |
| −2)2=25 takie równanie trzeba rozwiązać. |
| 35 | | 35 | |
Bardzo nieprzyjazne rachunki przy obliczaniu długości |KL|
Dlatego znalazłam inny sposób.
5 wrz 21:21
Eta:
![rysunek](rys/133466.png)
Można tak:
|KL|=2h (bo h jest wysokością w trójkątach prostokątnych ASK i ASL
|AS|
2=71 , |SK|
2=r
2=25 to |AK|
2=71−25=46
| √46*5 | | 10√46 | |
|KL|=2h= 2* |
| = |
| |
| √71 | | √71 | |
======================
5 wrz 22:15
Mila:
|AS|2=74
5 wrz 22:43
Eta:
Poprawiam jeszcze raz :
|AS|
2=74 to |AK|
2= 74−25 = 49 ⇒ |AK|=7
| 7*5 | | 35√74 | |
|KL|=2* |
| = |
| |
| √74 | | 37 | |
=============
I jest jak u
Mili
6 wrz 00:32