Wyznaczanie granicy ciągu z definicji.
Andrzej: | 4n+3 | |
Wykaż, że granicą ciągu nieskończonego (an), gdzie an= |
| , |
| n | |
jest liczba 4
3 | |
| < ε ,bo n jest zawsze ≥1 |
n | |
Co należy dalej z tym zrobić?
5 wrz 16:09
Adamm: mamy obrać taką liczbę k, żeby dla każdej liczby n≥k nierówność zachodziła
(ma być ona zależna od ε)
np. k=3/ε jest taką liczbą
5 wrz 16:14
kochanus_niepospolitus:
Wybieramy ε>0
Niech N = .... (wpisujemy później)
Definicja:
∀
ε>0 ∃
N ∀
n>N |a
n − g| < ε
teraz robisz to co napisałeś a następnie:
3 | | 3 | | 3 | | 3 | |
| < |
| (teraz rozwiązujesz: |
| < ε −> N > [ |
| ] <−−− podłoga z tej |
n | | N | | N | | ε | |
liczby ... i wpisujesz tą wartość w wykropkowane wcześniej miejsce)
5 wrz 16:15
mat: k = [ 3/ε ] + 1
5 wrz 16:16
kochanus_niepospolitus:
| 3 | |
Adamm k = |
| nie musi być liczbą naturalną |
| ε | |
5 wrz 16:17
Adamm: to nie musi być liczba naturalna
5 wrz 16:18
kochanus_niepospolitus:
Jak nie jak tak:
N ∊ N+ <−−− definicja Cauchy'ego
N jest 'operatorem', wskazującym od którego wyrazu tenże ciąg 'nie wypada' poza widełki: (g−ε ,
g+ε)
5 wrz 16:20
Adamm: a może ja mam inną definicję?
5 wrz 16:20
kochanus_niepospolitus:
a niby jaką (inną) masz
5 wrz 16:21
kochanus_niepospolitus:
w 16:15 ostatnia nierówność nie powinna być ostra, a więc:
5 wrz 16:24
Adamm: jaka jest różnica czy k będzie naturalne, czy rzeczywiste
wytłumacz
poza tym że nie ma tego bezpośrednio w twojej definicji
5 wrz 16:25
kochanus_niepospolitus:
jeżeli N (k) jest liczbą naturalną, to jesteś w jednoznaczny sposób pokazać (od razu) od
którego wyrazu ciąg wpada 'w widełki'.
Jeżeli N (k) będzie liczbą rzeczywistą, nie masz możliwości bezpośrednio patrząc na N (k)
wyznaczyć tego wyrazu.
5 wrz 16:30
kochanus_niepospolitus:
a druga sprawa −−− zadanie mówi o wykazaniu z DEFINICJI, więc trzeba się odnieść wprost do
definicji, w której mowa o tym, że N (k) to liczb należąca do zbioru N+
5 wrz 16:31
Adamm: wytłumaczę ci
nie ma różnicy czy k jest naturalne czy rzeczywiste
zawsze istnieje taka liczba naturalna, która jest od rzeczywistej większa
a używanie liczb rzeczywistych zamiast naturalnych jest wygodniejsze
5 wrz 16:32
Adamm: uwierz mi, nikt normalny nie patrzy na takie szczegóły
5 wrz 16:34
kochanus_niepospolitus:
uwierz mi ... każdy profesor (starej daty) patrzy na to.
2/
3 roku u mnie uwalił Profesor Gęba właśnie za brak 'podłogi'
5 wrz 16:38
Adamm: no więc, jakiemuś profesorowi może się coś takiego nie spodobać
ok
nie zmienia to faktu że takie podejście jest równie dobre
ale może jednak nie na teście
5 wrz 16:47
kochanus_niepospolitus:
Na egzaminie trza 'jechać z literą prawa' a prawem w matematyce są definicje. Skoro definicja
mówi, że masz brać po uwagę tylko czarne krowy, to choćbyś miał 'pińcet' łaciatych, to
bierzesz pod uwagę jedynie czarne
![emotka](emots/1/wesoly.gif)
.
Intuicyjnie nie ma żadnego problemu, aby przyjąć k∊R
+, jest to jednak wbrew przyjętym normom
(czytaj − definicji).
Tak samo:
| 1 | |
można zostawić liczbę w postaci |
| jednak mimo wszystko oczekuje się, aby liczbę tę |
| √2 | |
| √2 | |
przekształcić do postaci |
| i ją uważa się za 'najprostszą postać liczby 2−1/2 ' |
| 2 | |
(ale tutaj to akurat nikt punktów by raczej nie odjął, chociaż .... kto wie)
5 wrz 16:53