objętość całka potrójna
tom:
![rysunek](rys/133443.png)
Potrzebuję pomocy z następującą całką: ∫∫∫
V √x2+y2+z2 dxdydz gdzie obszar
V={(x,y,z): −2≤x≤2, −
√4−x2≤y≤
√4−x2,
√x2+y2≤z≤
√8−x2−y2 }
Domyślam się że trzeba skorzystac ze współrzędnych walcowych i tak też zrobiłem otrzymując
ograniczenia:
0≤r≤2, 0≤φ<2π, r≤z≤
√8−42 oraz całkę ∫∫∫
√r2+z2 dzdφdr.
Czy jest to poprawny sposób rozwiązywania tego zadania czy też popełniłem gdzieś błąd i
powinienem robić go inaczej?
4 wrz 12:56
Adamm: błąd to chyba tylko brak jakobianu
4 wrz 13:01
piotr: Lepiej przejść na sweryczne
4 wrz 13:03
piotr: sferyczne
4 wrz 13:03
Adamm: sferyczne to by było
r∊<0;2√2>, θ∊<0; 2π>, φ∊<0;π/4>
nie zapomnij
jakobian = r2sinφ
4 wrz 13:09
piotr: ∫02πdφ ∫02r3dr ∫−π/4π/4cosθdθ =
4 wrz 13:13
piotr: poprawka:
∫02πdφ ∫02√2r3dr ∫0π/4sinθdθ =
4 wrz 13:15
tom: Tak, rzeczywiście zapomniałem dopisać jakobianu.
A trzymając się wersji z walcowymi. Gdy mam tą swoją całkę pod koniec ∫∫∫ √r2+z2 *r to licząc
nieoznaczoną dla tego pierwiastka wychodzi bardzo brzydko. W takim razie nie wiem czy nie
lepiej przejść na sferyczne. Podjąłby się ktoś rozwiązania na współrzędnych walcowych czy gra
nie warta świeczki?
4 wrz 13:38
tom: @Piotr mógłbyś jakoś krótko wytłumaczyć dlaczego takie granice całkowania? Nie do końca
rozumiem współrzędne sferyczne.
4 wrz 14:25
4 wrz 14:58
tom: Dzięki wielkie
4 wrz 15:18
tom: Wynik wyszedł mi ujemny:
Δ={(r,φ,θ) 0≤r≤2√2, 0≤φ≤2π, 0≤θ≤π/4}
∫∫∫Δ √x2+y2+z2 dzdydz = ∫02π ∫02√2 ∫0π/4 r3sinθ dθdrdφ =
∫02π ∫02√2 r3 [−cosθ]0π/4 drdφ = −√2/2*∫02π [1/4 r4]02√2 dφ =
−√2/2 *1/4 *64 ∫02π dφ = −16√2π
4 wrz 15:38
Adamm: cos0=0
4 wrz 16:42
tom: Rzeczywiście z pośpiechu nawet zapomniałem podstawić
4 wrz 16:51