Wyznacz objętość bryły ograniczonej powierzchniami mrk: Wyznacz objętość bryły ograniczonej powierzchniami: z = x² + y² , x² + y² = 2y , z = 0. Przechodzę na współrzędne biegunowe i mam że φ należy <0,π> i r od 0 do ? właśnie nie wiem do czego. Wydaje mi się że będzie to 2sinφ ale nawet jeżeli tak jest to nie wiem skąd. Moglibyście mnie oświecić? Z góry dziękuję.

jc: x²+(y−1)² = 1 x = r cos t y = 1+r sin t x²+y² = 1 + 2 r cos t + r² ∫₀^2π ∫₀¹ (1 + 2 r cos t + r²) dr dt = 2π ∫₀² (1+r²) dr = 2π [r + r³/3]₀² = 8π/3

mrk: Dziękuję bardzo. Jeżlei mógłbyś jeszcze powiedzieć skąd Ci wyszło y = 1 + rsint ?

mrk: I czy mógłbyś jeszcze powiedzieć czemu całkujesz od 0 do 2π(Nie powinno być do π?) i od 0 do 1?Skąd się to wzięło?

mrk: Bardzo proszę

mrk: A jak liczyłem tak to będzie dobrze? x²+(y−1)² = 1 x = r cos t y = r sin t 0≤r≤2sint 0≤t≤π I liczę całkę podwójną: ∫ ₀^π∫₀^2sint (r²cos²t + r²sin²t)*r drdt I na końcu wychodzi mi 3π/2 Czy to będzie tak?

jc: Oj, w swoich rachunkach zgubiłem r przed dr. Powinno być ∫₀^2π ∫₀¹ (1 + 2 r cos t + r²) rdr dt=2π∫₀¹ (r+r³) dr = 2π [r²/2 + r⁴/4]₀¹ =3π/2 Twój rachunek =∫₀^π ∫₀^{2 sin t} r³ dr = ∫₀^π [r⁴/4]₀^{2 sin t} dt=4∫₀^π sin⁴ t dt = ?

mrk: Stąd wziąłem całkę z sin⁴t https://www.zadania.info/d64/322337 . Dzięki za pomoc .

jc: Jeszcze jeden błąd znalazłem w swoim rachunku x = r cos t y = 1 + r sin t 2y − x²−y² = 1−r² Dlatego całka =∫₀^2π ∫₀¹ (1−r²) rdr = 2π [2²/2 − r⁴/4]₀¹ = π/4.

jc: Cóż, jednak za pierwszym razem było dobrze. Przecież całkujemy x²+y²