Całka krzywoliniowa wsp. biegunowe Tomm: Witam, mam zdanie z obliczeniem całki krzywoliniowej, ogólnie nie byłoby z tym problemu, ale nie rozumiem jak rozwiązać poniższe zadanie: Oblicz całkę krzywoliniową ∫_K ydx+xdy gdzie K jest kardioidą opisaną we współrzędnych biegunowych r = 3(1+cosφ) φ ∊ [0, 2π] skierowaną dodatnio. Jak uwzględnić to podane r? Po prostu przechodzę na biegunowe i zamiast r wpisuje to co wyżej? Jak wtedy zachowuje się ten kąt we wsp. biegunowych? Z góry dzięki za pomoc.

Adamm: z tw. Green'a mamy = 0

Tomm: Okej dzięki za pomoc, ale nadal nie rozumiem jak dokonać parametryzacji tej całki. Jak uzyskałeś ten wynik?

Adamm: miałeś tw. Green'a?

Tomm: Tak, wiem że jeśli podstawić to do twierdzenia otrzymam całkę z zera. Chciałbym wiedzieć w jaki sposób wyliczyć to nie używając greena.

Tomm: Czy będzie to po prostu: x(t) = 3(1+cost)cost y(t) = 3(1+cosφ)sint t∊<0, 2π> i dalej liczę jak całkę skierowaną?

Adamm: nie wiem skąd to wziąłeś ja bym to policzył tak, jeśli już bym musiał bezpośrednio cosφ=r−3, 2≤r≤4 x=r²−3r y²=r²−(r²−3r)²=−r²(r²−6r+8) y=r√(r−2)(4−r) r(t)=(t²−3t)*i+t√(t−2)(4−t)*j, t∊<2;4>

	−2t2+9t−8
r'(t)=(2t−3)*i+		)*j
	√(t−2)(4−t)

F(x, y, z)=y*i+x*j F(r(t))=t√(t−2)(4−t)*i+(t²−3t)*j

	(t2−3t)*(−2t2+9t−8)
F(r(t))•r'(t) = (2t−3)t√(t−2)(4−t)+
	√(t−2)(4−t)

spróbuj podstawić u=t−3 powodzenia

Adamm: "proste" to to nie jest ale wykonalne

jc: To akurat jest proste. Tak jak Adamm zauważył, d(xy)= xdy + ydx, a więc funkcją pierwotną jest po prostu iloczyn x(t)y(t).