Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi Johny: Witam, Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu takiego zadania: Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi: ρ = 4sin(2φ) . Próbowałem to zrobić ale wychodzi mi 4π, a wynik ma być 8π. Bardzo proszę o pomoc .

'Leszek: Skorzystaj ze wzoru : P = 0,5 ∫ r² d φ , r = 4 sin(2φ) i calkowanie od 0 do π

Johny: Wychodzi mi z tego dalej 4π . Mógłbyś coś jeszcze podpowiedzieć?

Johny: Liczyłem to tak: ∫(4sin(2φ))²dφ = 8φ − 2sin(4φ) Całkowanie od 0 do π: (8π − 0) − (0 − 0) = 8π i z to jeszcze na koniec /2 czyli 4π .... Bardzo proszę o pomoc.

Adamm: czym tutaj jest ρ

'Leszek: To sa wspolrzedne biegunowe , ( r , φ ) Johny zrob rysunek !

piotr: całkuj od 0 do 2π

jc: Suma 2 całek: [0,π/2] + [π,3π/2]. wynik = 8π (wg wzoru z 20:21).

piotr: https://www.wolframalpha.com/input/?i=polar+plot+r%3D4+sin(2theta)

Johny: @jc Też policzyłem sumę 2 całek 2 całek: [0,π/2] + [π,3π/2] (wg wzoru z 20:21) i wychodzi mi 4π... Nie zapomniałeś podzielić przez tego wyniku? Robiłem to tak jak Pan Krystian z etrapez−u, czyli : 4sin(2φ) ≥ 0 sin(2φ) ≥ 0 t = 2φ sint≥0 t∊[0+2kπ , π +2kπ] 2kπ ≤ t ≤ π +2kπ 2kπ ≤ 2φ ≤ π +2kπ /2 kπ ≤ φ ≤ π/2 +kπ czyli dla k = 0 0 ≤ φ ≤ π/2 dla k = 1 π ≤ φ ≤ 3π/2 No i pozniej wychodzi mi to pole 4π... Błagam pomóżcie.. nie wiem co źle robię.

jc: Mamy dwie równe sobie całki, więc liczę jedną i mnożę przez 2.

	1		π
2 *		∫6π (4 sin 2β)2 dβ = 16 ∫0π sin2 2β dβ = 16		= 8π
	2		2

Elektrycy ostatniej całki nie liczą tylko piszą wynik. Pozostali korzystają ze wzoru

	1 − cos 2t
sin2 t =
	2

Johny: Dzięki za odpowiedź. Czemu w tym przypadku całkujesz od 0 do π a nie od 0 do π/2 ?

jc: Coś pomyliłem. Oczywiście, że miało być od 0 do π/2, czyli wyniki wynosi 4π. Dlaczego nie pasuje Ci 4π? Jeszcze raz.

	1		π
2*		∫0π/2 (4 sin 2β)2 dβ = 16 ∫0π/2 sin2 2β dβ = 16 *		= 4π
	2		4

Johny: Mi pasuje , ale u Pana Krystiana z etrapezu napisane jest w odpowiedzi 8π.... Chyba jakiś błąd. Dzięki jeszcze raz za pomoc .