ciagi ziomek: Ciąg a_n jest zdefiniwany wzorami a₁ =0, a_2n=2a_n −1, a_2n+1 = 2a_n+1. Wyznaczyć wszystkie k<100, dla ktorych a_k=3

Adamm: https://pl.wikipedia.org/wiki/Problem_J%C3%B3zefa_Flawiusza

Adamm: f(n)=−2^m+1+2l dla n=2^m+l, l jest liczbą naturalną taką że 0≤l<2^m

Adamm: czyli wszystkie liczby n postaci 2^m+2^m−1+1 dla m≥2 dla m=2 mamy n=7 dla m=3 mamy n=13 dla m=4 mamy n=25 dla m=5 mamy n=49 dla m=6 mamy n=97 i to już wszystkie takie n

kochanus_niepospolitus: 1) policzmy nieparzyste wyrazy tego ciągu =3 aby a_2n+1 = 3 to 2a_n = 2, czyli a_n = 1 1.1) niech n = 2k + 1 (czyli liczba nieparzysta) aby a_2k+1 = 1 to 2a_k = 0 czyli a_k = 0 1.1.1) niech k = 2m+1 > 1

	1
aby a2m+1 = 0 to 2am = −1 czyli am = −		(sprzeczne −−− wyrazy ciągu będą liczbami
	2

całkowitymi) 1.1.2) więc niech k = 2m > 1 aby a_2m = 0 to 2a_m = 1 <−−− ten sam wniosek czyli jedyna możliwość jest gdy k=1, wtedy a_k = 0 −> n = 3 −> a₃ =1 −> a₇ = 3 (i jest to jedyny nieparzysty wyraz ciągu, który powstał z nieparzystego wyrazu ciągu) 1.2) niech n=2k (czyli liczba parzysta) aby a_2k = 1 to 2a_k = 2 czyli a_k = 1 1.2.1) niech k = 2m+1 aby a_2m+1 = 1 to 2a_m = 0 −> i stąd wniosek a_m = a₁ = 0 (rozumowanie jak wcześniej, po prostu wcześniej to już ucinam) więc m=1 −> k = 3 −> n = 6 −> a₆ = 1 −> a₁₃ = 3 to będzie najmniejszy wyraz tego ciągu w taki sposób stworzony 1.2.2) niech k = 2m aby a_2m = 1 to 2a_m = 2 czyli a_m = 1 więc jak 'wpadniemy' na a_j = 1 to wszystkie kolejne wyrazy ciągu a_2^αj = 1 natomiast a_2^α+1j+1 = 3 (α∊N₊) 2) policzmy te parzyste wyrazy ciągu = 3 aby a_2n = 3 to 2a_n = 4 czyli a_n = 2 2.1) niech n = 2k+1

	1
aby a2k+1 = 2 to 2ak = 1 czyli ak =		(sprzeczne)
	2

2.2) niech n = 2k

	3
aby a2k = 2 to 2ak = 3 czyli ak =		(sprzeczne)
	2

czyli a_2n ≠ 3 dla dowolnego n. No i liczymy: najmniejszy a_2n = 1 to a₆ ... więc mamy: a₇, a₁₃ oraz a_2^α+1*6+1 ; gdzie α∊N₊ i teraz: 2^α+1*6 + 1 < 100

	99
2α+2 <
	3

2^α+2 < 33 2^α+2 ≤ 2⁵ = 32 < 33 1 ≤ α ≤ 3 a więc ostatecznie będziemy mieć: a₇, a₁₃, a₂₅, a₄₉ i a₉₇ <−−− 5 takich wyrazów