A w tych ? znajdz rozwiązanie równania w zbiorze liczb zespolonych kuba: 1. z⁴+2z²+1= 0 2. z⁴+2z+i+1 = 0

Jerzy: 1) ⇔ (z² + 1)² = 0

Mariusz: a₄z⁴+a₃z³+a₂z²+a₁z+a₀=0

	a3		a2		a1		a0
z4+		z3+		z2+		z+		=0
	a4		a4		a4		a4

	a3		a2		a1		a0
(z4+		z3)−(−		z2−		z−		)=0
	a4		a4		a4		a4

	a3		a32
(z4+2		z3+		)−
	2a4		4a42

	a32−4a4a2		a1		a0
(		z2−		z−		)=0
	4a42		a4		a4

	a3
(z2+		z)2−
	2a4

	a32−4a4a2		a1		a0
(		z2−		z−		)=0
	4a42		a4		a4

	a3
(z2+		z)2−
	2a4

	a32−4a4a2
((y+		)z2
	4a42

	a3		a1		y2		a0
+(		y−		)z+		−		)=0
	2a4		a4		4		a4

Δ=0

	y2		a0		a32−4a4a2
4(		−		)(y+		)−
	4		a4		4a42

	a3		a1
(		y−		)2=0
	2a4		a4

Mila: 1) z⁴+2z²+1= 0 ⇔ (z²+1)²=0 z²+1=0⇔ z²−i²=0 (z−i)*(z+i)=0 z=i lub z=−i

Mila: 2. ) z⁴+2z+i+1 = 0 nie opuściłeś czegoś w tym równaniu?

Mariusz: z⁴+2z+1+i=0 z⁴−(−2z−1−i)=0 (z²)²−(−2z−1−i)=0

	y		y2
(z2+		)2−(yz2−2z+		−1−i)=0
	2		4

Δ=0

	y2
4(		−1−i)y−4=0
	4

y³−(4+4i)y−4=0 y=u+v u³+3u²v+3uv²+v³−4(1+i)(u+v)−4=0

	4
u3+v3−4+3(u+v)(uv−		(1+i))=0
	3

u³+v³−4=0

	4
uv−		(1+i)=0
	3

u³+v³=4

	4
uv=		(1+i)
	3

u³+v³=4

	4		π		π
uv=		√2(cos(		)+isin(		))
	3		4		4

u³+v³=4

	128		3π		3π
u3v3=		√2(cos(		)+isin(		))
	27		4		4

u³+v³=4

	128		1		1
u3v3=		√2(−		+		i)
	27		√2		√2

u³+v³=4

	128
u3v3=		(−1+i)
	27

	128
t2−4t+		(−1+i)=0
	27

	128		128
(t−2)2−4−		+		i)=0
	27		27

	708−384i
(t−2)2−
	81

	18−√708−384i		18+√708−384i
(t−		)(t−		)=0
	9		9

	54−3√708−384i		54+3√708−384i
(t−		)(t−		)=0
	27		27

	1
y=		(3√54−3√708−384i+3√54+3√708−384i)
	3

	y		y2
(z2+		)2−(yz2−2z+		−1−i)=0
	2		4

	y		1
(z2+		)2−(√y)2(z−		)2=0
	2		y

	y		1
(z2+		)2−(√yz−		)2=0
	2		√y

	1		2		1		2
(z2−√yz+		(y+		))(z2+√yz+		(y−		))=0
	2		√y		2		√y