Całki podwójne Krzaku: hej wszystkim, jak rozwiązać taką całkę podwójną : ∫∫ 24xy² + 10y dx dy gdzie D= { (x,y)⇒R² : 0≤x≤1 , −1≤y≤x² zacząłem ją robić i skonczyłem na samym początku, nie wiem jak ją rozwiązać czy przez części, podstawienie a może całką nieoznaczoną? Dzięki i pozdrawiam

Mila: ∫(24xy² + 10y) dx dy=₀∫¹[₋₁∫^x2(24xy² + 10y)dy]dx= D

	1		1
=0∫1[24x*		y3+10*		y2]0x2]dx=
	3		2

=₀∫¹[8xy³+5y²]₀^x2 dx= =₀∫¹[8x(x²)³+5*(x²)²−0]dx= =₀∫¹(8x⁷+5x⁴)dx=[x⁸+x⁵]₀¹=1+1−0=2

Krzaku: Dziękuje Ci Mila, teraz mam pełen obraz jak to wykonać , dziękuje !

Mila:

Krzaku: Jeszcze mam pytanko, jeżeli jest wymiar y −−−> −1, x² to zastanawia mnie dlaczego za y jest wstawione x² a co z tym −1 ? nie będzie coś takiego : [8x⁷+5x⁴]− [8x*(−1)³+5*(−1)²] ?

Krzaku: bo na końcu jest : [1⁸+1⁵]−[0⁸+0⁵] i tutaj jest uwzględnione 0 i 1 a powyżej jakby ja to postrzegam jakby −1 zostało pominięte

Mila: To pomyłka z mojej strony, Trzeba podstawić (−1), dasz radę sam , czy napisać? Wynik podaj, jak obliczysz.

Mila: Dobranoc, jutro popatrzę jak zrobiłeś. Wynik to 1.

Krzaku: ja policzyłem tak : ∫∫24xy²+10y dy dx= =0∫1 [24x* ¹₃y³+10*¹₂y² dy] dx= =0∫1 [8x*(x²)³+5*(x²)² dy] − [8x*(−1)³+5*(−1)²]= =0∫1 [8x⁷+5x⁴] − [−8x+5]=

	1
=8∫18x8+5∫		x5+8∫12x2+5∫12x2=
	5

=[x⁸+x⁵+4x²+⁵₂x²]¹₀= =[1⁸+1⁵+4*1²+⁵₂*1²]−[0⁸+0⁵+4*0²+⁵₂*0²]= =1+1+4+⁵₂−0=¹⁷₂

Krzaku: Dziękuje Mila za cierpliwość Dobrej nocy życzę

Adamm: ∫₀¹ ∫₋₁^x2 24xy²+10y dydx = = ∫₀¹ 8x⁷+5x⁴+8x−5 dx = 1

Krzaku: Adamm a dlaczego tak? Rozwiązałem tak jak napisałeś i dalej wychodzi mi to samo

Mila: ₀∫¹(8x⁷+5x⁴+8x−5 )dx=

	1		1		1
=[8*		*x8+5*		x5+8*		x2−5x]01=
	8		5		2

=[x⁸+x⁵+4x²−5x]₀¹= =1+1+4−5=1

Krzaku: a to ostatnie −5x nie bierze się również jak resztę czyli jako osobną całkę nieoznaczoną ? −−−−−−−−> −5x dx = −5∫¹₂x²= −⁵₂ ? Przepraszam że tak poźno odpisuje lecz mam dużo na głowie

Mila: tam jest całka z (−5) a nie z (−5x)

Krzaku: a czemu niżej jest w trzeciej linijce −5x bo już mi się pomieszało zupełnie

Mila: Przeczytaj uważnie 15:02. w pierwszej linijce masz funkcję pod całką, w drugiej obliczoną całkę i w trzeciej po uproszczeniu przygotowaną do obliczenia wartości.

Krzaku: Dobrze Mila już rozumiem swój błąd , cały czas zamiast po prostu podstawić za x przy 5 (1) to ja z 5 wyrzucałem przed całkę i z x−a liczyłem całkę ¹₂ x² , dziękuje

Mila: Musisz uważać, na początku robi się różne dziwne błędy

Krzaku: Rozwiązałem sam ale patrząc na Wasze wskazówki i rzeczywiście wynik to 1, jeszcze raz dziękuje

Krzaku: mam jeszcze kolejny przykład : ∫∫ (18x²y−10y)dx dy D={ 0≤x≤1, −1≤y≤x²} = ¹₀∫ [ ⁻¹_x²∫ 18x*¹₂y²− 10*¹₂y² dy] dx= =¹₀∫ [ 9x²y²−5y² dy] ^x2₋₁ dx = =¹₀∫ [ 9x²(x2)² − 5(x²)² dy] − [9x²(−1)² −5(−1)² dy]= =¹₀∫ [ 9x⁶ − 5x⁴ dy] − [9x² −5 dy] = = 9∫¹₇x⁷ − 5∫¹₅x⁵ −9∫¹₃x³ −5 = =(⁹₇x⁷ −x⁵ −3x³ −5)¹₀ = =[⁹₇*(1)⁷ − (1)⁵ − 3*(1)³ −5] − [0]= =⁹₇ −1 −3 −5 −0 = =−8 +⁹₇ = −⁴⁷₇ na końcu dodam że jeszcze nie do końca rozumiem gdzie pisać symbol całki albo jakiego nawiasu użyć, może to wyglądać dziwnie ale tak jest , wiem jak liczyć lecz niekoniecznie zwracam uwagę na kosmetyczne rzeczy typu gzdie pisać dx dy itd

Adamm: ∫₀¹ ∫₋₁^x2 18x²y−10y dy dx = ∫₀¹ 9x²y²−5y² |₋₁^x2 dx =

	9		16
= ∫01 9x6−5x4−9x2+5 dx =		x7−x5−3x3+5x |01 =
	7		7