Test z algebry Leo: Na każdy podpunkt należy odpowiedzieć TAK lub NIE: 1) Na płaszczyźnie dane są punkty A,B,C takie, że współczynniki kierunkowe kAB, kAC są określone i niezerowe. Wtedy: a) kAB = −kBa b) jeśli trójkąt ABC jest prostokątny to kABxkAC=−1 2)O wektorach U,V na płaszczyźnie wiadomo, że |U+V|²<|U|²+ |V|² a)Czy U, V muszą być niezerowe ? b) Czy U i V mogą być współliniowe ? 3) Dowolne równanie ogólne prostej na płaszczyźnie: a) można sprowadzić do postaci y=ax+b gdzie a,b∊ℛ b) można sprowadzić do postaci kanonicznej 4)Wiadomo że zbiór rozwiązań układu równań ax+by=r cx+dy=s gdzie a,b,c,d,r,s∊R, jest nieskończony, ale nie jest całą płaszczyzną. Wtedy: a) co najmniej jeden z wyznaczników |a r| |r b| |c s| |s d| musi być zerowy b) zbiór rozwiązań powyższego układu musi być prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych. 5) Na płaszczyźnie dane są niezerowe wektory U,V,W. Wtedy: a) Wektory U,V,W są liniowo zależne b) jeśli U,V mają różne kąty biegunowe, to W jest kombinacją liniową wektorów U, V. 6) Wiadomo, że przekształcenie liniowe F:R²→R² zmienia orientację. Wtedy: a) przekształcenie −F zachowuje orientację b) Przekształcenie F⁻¹ zachowuje orientację 7) O liczbach zespolonych w, z wiadomo, że w+z jest liczbą rzeczywistą zaś w−z liczbą czysto urojoną. Wynika stąd, że: a) z=w(sprzężone) b) liczby w, z mają identyczne moduły 8) a) Istnieje macierz symetryczna M∊M_2x2(R) taka, że i (jedność urojona) jest wartością własną M. b) Istnieje macierz ortogonalna M∊M_2x2(R), która nie ma rzeczywistych wartości własnych. 9) Macierz |a b| gdzie a,b,c∊R ma jedną wartość własną dodatnią i jedną ujemną. Wtedy | b c| a) zbiorem rozwiązań równania ax²+2bxy+cx²= −1 jest hiperbola b) zbiorem rozwiązań równania ax²+2bxy+c²=0 jest para prostych równoległych. 10) Dla dowolnych wektorów U,V z R³: a) wektory UxV i VxU są współliniowe b) zachodzi równość (UxV)oU=Vo(UxV) Prosiłbym odpowiedzi z rozwiązaniami Z góry dzięki

Adamm: 2. a) jeśli np. U=0 to mamy |U+V|²=|V|²=|U|²+|V|², czyli nie b) mamy |U+V|²=|U|²+|V|²+2|V||U|*cosα gdzie α to kąt między U a V jeśli U, V są współliniowe to α=0 lub α=π dla α=π nierówność jest spełniona (|V|>0 oraz |U|>0) odp. mogą 3. a) nie b) nie, przykład takiej prostej: x=0

Leo: w 2a napisałeś że nie muszą być niezerowe a tam jest znak <. nie kumam

Adamm: 2. a) chodziło mi oczywiście o to że muszą być niezerowe 3. b) może być w postaci kanonicznej, pomyłka 4. ax+by=r może być prostą, lub płaszczyzną, lub równaniem sprzecznym jeśli oba równania to proste, to muszą się pokrywać jeśli jedno z równań to płaszczyzna, to drugie musi być prostą czyli albo a=0, b=0, r=0 oraz co najmniej jedna z c, d jest różna od 0, albo na odwrót albo a, b, r są równych proporcji z c, d, s a) tak b) nie

Leo: 3b jednak może ? wytłumaczyłbyś ?