zbiory Adamm: Jak udowodnić że jeśli A∩B≠∅ to δ(A∪B)≤δ(A)+δ(B) ? δ(E) oznacza średnicę zbioru E

kochanus_niepospolitus: niech a₁ i a_n będą krańcowymi punktami zbioru A, w takim przypadku δ(A) = a_n − a₁ niech b₁ i b_n będą krańcowymi punktami zbioru B, w takim przypadku δ(B) = b_n − b₁ bez straty uogólnienia załóżmy, że a₁<b₁ skoro A∩B ≠ ∅ to ∃_k≤n a_k ≥ b₁ −> a_n ≥ b₁ w takim razie δ(A∩B) = b_n − a₁ ≤ b_n − a₁ + (a_n − b₁) = δ(A)+δ(B)

Adamm: co jeśli to nie są zbiory liniowe?

kochanus_niepospolitus: to powiedz o jakie zbiory chodzi

Adamm: ogólnie zbiory z dowolną metryką

kochanus_niepospolitus: δ(A) = max_i,j{d{a_i, a_j}} (tak widzę średnicę w dowolnej metryce, jeżeli definicja jest inna, to mnie popraw)

kochanus_niepospolitus: załóżmy, że A∩B ≠ A ∧ A∩B ≠ B (bo tu dowodzić nie ma czego) ∃_n,m a_n = b_m δ(A) = max_i,j{d{a_i, a_j}} ≥ max_j{d{a_n, a_j}} δ(B) = max_i,j{d{b_i, b_j}} ≥ max_i{d{b_i, b_m}} δ(A∩B) = max_i,j{d(b_i, a_j}} ≤ max_j{d{a_n, a_j}} + max_i{d{b_i, b_m}} ≤ δ(A) + δ(B)

kochanus_niepospolitus: jednak bym tutaj widział trochę komentarzy potrzebnych do tych paru linijek

Adamm: średnica zbioru A to kres górny wszystkich odległości w tym zbiorze (elementów d(a₁, a₂) gdzie a₁, a₂∊A) numerując elementy zakładasz że zbiór jest przeliczalny (ja tak to widzę)

kochanus_niepospolitus: no to zamienić max na sup i reszta zostaje bez zmian

Adamm: ale chodziło o sumę δ(A∪B)≤δ(A)+δ(B)

kochanus_niepospolitus: warunek do tego co napisałem: δ(A∩B) > δ(A) ∧ δ(A∩B) > δ(B)

kochanus_niepospolitus: ojjj ... znak sumy ma być

kochanus_niepospolitus: dobra ... to teraz porządnie: definiujemy: δ(A) = sup_i,j{d{a_i, a_j}} 1) A∩B = B wtedy : δ(A∪B) = δ(A) ≤ δ(A) + δ(B) 2) A∩B = A wtedy : δ(A∪B) = δ(B) ≤ δ(A) + δ(B) 3) A∩B ≠ A ∧ A∩B ≠ B 3.1) δ(A∪B) = δ(A) (czyli zbiór B nie ma wpływu na średnicę) 3.2) δ(A∪B) = δ(B) (czyli zbiór A nie ma wpływu na średnicę) 3.2) δ(A∪B) > δ(A) ∧ δ(A∪B) > δ(B) δ(A) = sup_i,j{d{a_i, a_j}} = d{a_x, a_y} δ(B) = sup_i,j{d{a_i, a_j}} = d{b_q, b_w} ∃_n,m a_n = b_m d{a_x, a_y} > max{ d{a_x, a_n}, d{a_y, a_n}} = d{a_x, a_n} (bez straty uogólnienia) d{b_q, b_w} > max{ d{b_q, b_m}, d{b_q, b_m}} = d{b_q, b_m} (bez straty uogólnienia) I teraz pytanie − jak pokazać, że: δ(AuB) = sup_i,j{d{a_i, b_j}} = d{a_x, b_q} (bo tak będzie w tymże przypadku)

Adamm: rozumiem, dzięki

kochanus_niepospolitus: tam powinny być: d{ax, ay} ≥ max ... d{bq, bw} ≥ max ...

kochanus_niepospolitus: jak się zastanowić to (1) i (2) nie są konieczne bo zawierają się odpowiednio w (3.2) i (3.1)