Obliczyć całkę mikolaj: ∫x²√4x−x²dx oraz ∫x√8+x−x²dx Witam, gdybyście mogli mnie jakoś naprowadzić, podać ewentualnie wzory które trzeba użyć i jaką z metod robić. Nie wiem czy podstawianiem czy może jest na te całki jakiś sposób. Z góry dziękuje.

piotr: 1) podstawienie : x −2 =2 sin(t)

Mila: Liczę drugą.

Mila:

	x2*(4x−x2)
1)całka=∫		dx=
	√4x−x2

	−x4+4x3
=∫		dx teraz metoda współczynników nieoznaczonych
	√4x−x2

Poradzisz sobie? 2)

	x*(8+x−x2)
całka=∫		dx=
	√8+x−x2

	−x3+x2+8x
=∫		dx= metoda wsp. nieoznaczonych
	√8+x−x2

	−x3+x2+8x
(*) ∫		dx= (Ax2+Bx+C)*√8+x−x2}dx+D*∫U{1}{√8+x−x2dx
	√8+x−x2

różniczkujemy obie strony

−x3+x2+8x		−2x+1
	=(2Ax+B)*√8+x−x2+(Ax2+Bx+C)*		+
√8+x−x2		2√8+x−x2

	D
+		mnożymy obie strony przez √8+x−x2
	√8+x−x2

	−2x+1
−x3+x2+8x=(2Ax+B)*(8+x−x2)+(Ax2+Bx+C)*		+D⇔
	2

−x³+x²+8x=−3Ax³+2.5Ax²+16Ax−2Bx²+1.5Bx+8B−Cx+0.5C+D grupujemy wyrazy −x³+x²+8x=−3Ax³+x²*(2.5A−2B)+x*(16A+1.5B−C)+(+8B+0.5C+D) porównanie wsp. wielomianów

	1
−3A=−1⇔A=
	3

	5		1		1
(2.5A−2B)=1⇔		*		−2B=1⇔B=−
	2		3		12

	16		3		1
(16A+1.5B−C)=8⇔		+		*(−		)−C=8
	3		2		12

	3		67
−		−C=8−513⇔C=−
	24		24

	8		1		67		33
8B+0.5C+D=0⇔−		+		*(−		)+D=0⇔D=
	12		2		24		16

	1		1		67		33		1
całka=(		x2−		x−		)*√8+x−x2+		∫		dx
	3		12		24		16		√8+x−x2

dokończ ostatnią całkę

piotr:

	1		1
2) podstawienie: x −		=		√33sin(t)
	2		2

Mila:

piotr:

33		dx		33		2x−1
	∫		=		asin(		) + C
16		√8+x−x2		16		√33

mikolaj:

dx		dx
	mogę to zrobić ze wzoru ∫		=ln|x+√x2+k| ?
√8+x−x2		√x2 +k

mikolaj: tam całki zapomniałem dodać przed 1 ułamkiem

Jerzy: Przecież √8 + x − x² to nie √x² + k

mikolaj:

	1		1
chciałem wyciągnąć minus przed całkę i √x2−x−8 przekształcić jako √(x−		)2+8
	2		4

	1
podstawić t=(x−		)
	2

	1
i dalej tak jak pisałem (pierwiastek miał być do końca wyrażenia 8
	4

Jerzy: A na jakiej podstawie chcesz wyłaczyć minus przed całkę ? Dla Ciebie: √−3 = √(−1)*3 = √−1*√3 = −√3 ?

mikolaj: tak właśnie myslalem ale teraz widze absurd tego sposobu, dziekuje za pomoc, chcialem sie spytac jeszcze co to jest za wzor opisany przez piotra 28 sierpnia o 21;50?

mikolaj: już wiem, dziekuje za pomoc

Mila:

	1		1		1		33		1
8+x−x2=−(x2−x−8)=−[(x−		)2−		−8]=−(x−		)2−814]=		−(x−		)2
	2		4		2		4		2

postać kanoniczna trójmianu

	1		1
∫		dx=∫		dx=..
	√8+x−x2		1   √334−(x− )2   2

	1		√33		√33
[x−		=		t , dx=		dt
	2		2		2

	√33		1
..=		∫		dt=
	2		√334−334t2

	1		2x−1
=∫		dt= arcsint=arcsin		+C
	√1−t2		√33