indukcja IND: Wykazać, że dla każdego n prawdziwa jest nierówność Bernoulliego. (1 + a)ⁿ ≥ 1 + an, dla a > −1 1) Sprawdzam dla n=1 (biorę dowolną liczbę naturalną) (1 + a)¹ ≥ 1 + a 2) założenie indukcyjne (podstawiam k pod n) (1 + a)^k ≥ 1 + ak 3) teza indukcyjna (podstawiam k+1 pod n) (1 + a)^{k + 1} ≥ 1 + a(k + 1) 4) Wyliczam różnicę lewych stron tezy i założenia L = (1 + a)^{k + 1} − (1 + a)^k = (1 + a)^k(1 + a − 1) = a(1 + a)^k 5) Wyliczam różnicę prawych stron tezy i założenia P = 1 + a(k + 1) − (1 + ak) = a 6) Podstawiam L ≥ P i sprawdzam czy to co uzyskam ma sens a(1 + a)^k ≥ a Ostatecznie ma to sens, bo (1 + a)^k jest zawsze dodatnie, więc wykazałem co miałem wykazać. Dobrze to rozumiem?

Adamm: nie rozumiesz

'Leszek: Powinienes poprawic p.4) i 5) tak nie przeprawadza sie dowodu w p.4) musisz wykorzystac p.2) i 3) !

IND: Możecie w takim razie napisać jak to powinno być od 4)? W książce mam tak napisane: (i tym się sugerowałem przy robieniu powyższej nierówności) Wykazać, że

	n3		n2		n		n(n + 1)(2n + 1)
12 + 22 + ... + n2 =		+		+		=
	3		2		6		6

	1		1		1
Rozwiązanie. Sprawdzamy wzór dla n=1; mamy 12 =		+		+		, więc punkt 1
	3		2		6

jest spełniony. Teraz zakładamy, że prawdziwe jest założenie indukcyjne

	k3		k2		k
12 + 22 + ... + k2 =		+		+
	3		2		6

a twierdzimy, ze jest prawdziwa teza indukcyjna

	(k + 1)3		(k + 1)2		k + 1
12 + 22 + ... + k2 + (k + 1)2 =		+		+
	3		2		6

Będzie to oczywiste, jeżeli wykażemy, że lewe i prawe strony tezy i założenia różnią się o tę samą liczbę. Lewe strony tezy i założenia różnią się oczywiście o (k + 1)². Obliczamy

	(k + 1)3		(k + 1)2		k + 1		k3
różnicę prawych stron; mamy		+		+		−
	3		2		6		3

	k2		k		1		1		1
−		−		= k2 + k +		+ k +		+		= (k + 1)2 czyli te
	2		6		3		2		6

różnice są rzeczywiście równe. A więc na podstawie indukcji zupełnej wykazaliśmy prawdziwość żądanego wzoru.

'Leszek: W tym dowodzie to jeszcze jest dopuszczalna taka metoda bo jest to rownosc ( znak =) , ale poprzednio byla nierownosc ( znak ≥ ) ! W dobrych podrecznikach np.Krysicki , nalezy podstawiac , do tezy zalozenie i doprowadzic do zgodnosci !

IND: Te zadanka mam właśnie w analizie matematycznej w zadaniach (cz 1) Krysickiego. Mógłbyś pokazać mi jak należy podstawić do tezy założenie i doprowadzić do zgodności?

IND: To jak rozumiem − założenie indukcyjne powinienem traktować jako "zawsze prawdziwe" i je przekształcać tak długo, aż dojdę do formy, która potwierdzi tezę indukcyjną? Coś takiego zrobił Krysicki mnożąc obie strony założenia przez (1+a)