student: Ile istnieje funkcji niemalejących
f : {-5, -4, -3, …, 3, 4, 5}→{-30, -29,-28, …28, 29, 30}
spełniających dla każdego x ∈ {-5, -4, -3, …, 3, 4, 5} warunek f(|x|-2)=x²
Dostępne odpowiedzi:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 44950
e) 167552
f) 114576
g) 275616
h) 347452
i) 456196
j) nieskończenie wiele

b.: Z podanego warunku mamy
f(-2) = 0, f(-1) = 1, f(0) = 4, f(1) = 9, f(2) = 16, f(3) = 25
(po prostu wstawiamy podane x).
Wobec tego wartości f(-5), f(-4), f(-3) muszą być ze zbioru {-30,..., 0 },
a wartości f(4), f(5) - ze zbioru {25,26,...,30}, no i musi być f(-5)≤f(-4)≤f(-3) oraz f(4)≤f(5).

Teraz wystarczy policzyć, ile jest funkcji niemalejących f₁:{-5,-4,-3} -> {-30,-29,...,0} (powiedzmy, n₁), i ile jest funkcji niemalejących f₁:{4,5} -> {25,26,...,30} (powiedzmy, n₂).

Policzmy to n₂. Wybieramy 2 różne liczby ze zbioru {25,26,...,30} (to daje 6 po 2, czyli 15 sposobów) i bierzemy f(4) = mniesza z wybranych dwóch, f(5) = większa z wybranych dwóch; lub wybieramy jedną liczbę z tego zbioru (6 po 1, czyli 6 sposobów), i bierzemy za f(4) i f(5) tę wybraną wartość.
Czyli n₂=15+6=21.

Wynik to będzie n₁*n₂, czyli n₁*21. Sprawdźmy, które z odpowiedzi dzielą się przez 21: tylko 114576, i to jest odpowiedź (o ile wśród dostępnych jest ta poprawna ).

b.: Oczywiście n₁ też można policzyć podobnie:
n₁ = (31 po 3) + 2*(31 po 2) + (31 po 3) = 5456,
i wynik n₁*n₂ = 21*5456 = 114576...

student: b.: wielkie dzięki za pomoc, wiszę ci piwo