Udowodnij ze TomelAtomek: Udowodnić, że : Dla x >= 0 1+ x =< e^x Z użycie pochodnych: 0 =< e^x − 1 − x

karty do gry :

	xn		xn
ex = ∑n = 0∞		= 1 + x + ∑n = 2∞		≥ 1 + x dla x ≥ 0
	n!		n!

TomelAtomek: Mógłbyś jakoś to skomentować

karty do gry : Którą równość (nierównosć) ?

TomelAtomek: ex = ∑n = 0 Wsumie najlepiej krok po kroku Z góry dzięki

karty do gry : pierwsza równość to definicja funkcji e^x druga to zwykłe rozpisanie pierwszych dwóch składników sumy nierówność wynika z obserwacji, ze każdy składnik pozostałej sumy jest większy od 0.

TomelAtomek:

Xn
n!

A to , co to jest

Pytający: "nierówność wynika z obserwacji, ze każdy składnik pozostałej sumy jest większy od 0." Raczej "nie mniejszy od 0", bo x może być równy 0.

Pytający:

	xn
∑n=0∞		to rozwinięcie w szereg Maclaurina funkcji ex
	n!

	xn		x2		x3
ex = ∑n=0∞		= 1+x+		+		+...
	n!		2!		3!

TomelAtomek: Dzięki juz rozumiem. A jest jakiś sposób rozwiązania tego za pomocą pochodnych ?!?!

Adam: f(x)=e^x−1−x f'(x)=e^x−1≥0 ponieważ x≥0 zatem f rośnie dla x≥0 skąd nierówność f(x)≥f(0) e^x−1−x≥0 e^x≥1+x c. b. d. o.

Adam: "zatem f rośnie dla x≥0" przepraszam, wynika stąd że funkcja jest niemalejąca a nie rosnąca