Rownanie trygonometryczne 5-latek: Rozwiazac rownanie ctg²x+4cos2x=5 dla sin²x≠0

cos2x
	+4(cos2x−sin2x)=5
sin2x

cos2x
	+4(1−2sin2x}=5
sin2x

cos2x
	+4−5−8sin2x}=0
sin2x

cos2x
	−8sin2x−1=0
sin2x

Obie strony mnoze przez sin²x cos²x−8sin⁴x−sin²x=0 cos²x−8(1−cos²x)²−(1−cos²x)=0 cos²x−8(1−2cos²x+cos⁴x)−1+cos²x=0 cos²x−8+16cos²x−8cos⁴x−1 +cos²x=0 −8cos⁴x+18cos²x−9=0 8cos⁴x−18cos²x+9=0 Δ=36

	18−6		12		3
cos2x=		=		=
	16		16		4

	√3
cosx=
	2

	1
x= ±		π+2kπ
	6

================= lub

	3
cosx= −
	4

	1		5
to x= π−		π+2kπ=		π+2kπ
	6		6

	1		7
lub x= π+		π+2kπ=		π+2kπ
	6		6

Jerzy:

	3
A dlaczego: cosx = −		?
	4

kochanus_niepospolitus: wiadome założenie: sin²x ≠ 0 ctg²x + 4cos(2x) = 5 /// ( cos²x = 1 − sin²x) oraz cos2x = 1 − 2sin²x

1
	− 1 + 4(1−2sin2x) = 5
sin2x

1
	− 8sin2x = 2 / * sin2x
sin2x

i od razu: t = sin²x 1 − 8t² − 2t = 0 8t² + 2t − 1 = 0

	1		1
t = −		i t =
	2		4

	1		√2
czyli sin2x =		−> sin x = +/−
	4		2

kochanus_niepospolitus:

	1
tfu ... sinx = +/−		oczywiście
	2

Jerzy: Nie robi

5-latek: Jerzy Pomylilem sie Witaj kochanus_niepospolitus dziekuje za rozpisanie

kochanus_niepospolitus: witam. Takie pytanie: czemu najpierw zmieniasz na sin²x, aby później zamienić wszystko na cos²x

5-latek: Wiesz tak mi wychodzilo z obliczen . Liczylem to tutaj ( nie na kartce ) . Niektore tozsamosci oblicze sobie w pamieci ale zadrza sie tak jak tutaj ze casami licze droga okrezna .

5-latek: jednak to nie jest dla mnie najgorszse przy tych rownaniach Wzory redukcyjne tzn 90^o+α, 90^o−α, 180^o±α itd to znam (lub spojrze do tablic Najgorsze to np jak w tych rownaniach tg(x−3π)−ctg(x−π)=0

	x
lub (sin		−α)= cos(x+α) gdzie α jest danym kątem
	2

5-latek: Tutaj nie ma tego π i nie wiem jak sie do tego odniesc . A w zbiorze zadan z ktorego teraz korzystam sa tylo same odpowiedzi .

Jerzy: Stosujesz wzory na funkcje sumy lub różnicy kątów.

5-latek: Ok . Wroce do tego moze jeszcze dzisiaj wieczorem po pracy albo jutro .