Szereg Fouriera aniko: Hej mam takie zadanko. Rozwinąć w szereg Fouriera według sinusów w przedziale (0,π) funkcję f(x)=cos(kx), gdzie k jest dowolną liczbą naturalną. wiem, że funkcja cosinus jest funkcją parzystą. czyli teoretycznie współczynnik b_n powinien mi się zerować. Ale mam rozwinąc moją funkcję wg. sinusów na przedziale (0,π) czyli muszę zrobić niej funkcję nieparzystą Mógłby mnie ktoś naprowadzić jak to zrobić ? Z góry dziękuję za pomoc

aniko: ktoś coś ?

piotr: Po przedłużeniu f(x) z przedziału (0, π) na przedział (−π, π) mamy szereg odpowiadający f(x): ∑b_n sin(nx) gdzie

	1		2
bn =		∫−ππf(x) sin(n x) dx =		∫0πf(x) sin(n x) dx =
	π		π

	2
=		∫0πcos(k x) sin(n x) dx =
	π

	2 (k*sin(π k)*sin(π n) + n*cos(π k)*cos(π n) − n)
=		=
	π(k2−n2)

	2 n ((−1)n*cos (π k )−1)
=
	π (k2−n2)

aniko: dziękuje bardzo Czyli, teoretycznie, jeżeli mam podane w zadaniu rozwinąć daną funkcję w szereg fouriera wg. sinusów na przedziale (0,π),

	2
to zawsze mam an=0 a bn=		∫0 π f(x) * sin(nx)dx
	π

	2
a w przypadku cosinusów bn=0, an=		∫0 π f(x) * cos(nx)dx
	π

dobrze rozumiem ?

piotr: a w przypadku cosinusów mamy jeszcze:

	1		1
a0 =		∫−ππf(x) dx =		∫0πf(x) dx
	2π		π

aniko: tak tak, wiem Chodzi mi o to czy zawsze jeśli mam takie zadanie: Rozwinąć w szereg Fouriera według sinusów, kosinusów w przedziale (0,π) jakąs tam funkcję f(x). stosuję się do tego co napisałam wyżej w poście ? Czy są jakieś wyjątki ?

piotr: Tak, ogólnie stosujemy taką zasadę.

aniko: Dziękuję bardzo