Milo: Potrafię pokazać tylko, że n jest postaci 5+4k, zaś m − postaci 2+4l, dla całkowitych
nieujemnych k,l.
Czy to jakoś pomoże − nie wiem.
Najpierw pokażemy, że n,m nie są jednocześnie parzyste.
Gdyby tak było, to n = 2k oraz m = 2l dla pewnych naturalnych k,l.
Wówczas
2
2k − 3
2l = 23
(2
k − 3
l)(2
k + 3
l) = 23
Ponieważ wyrażenia w nawiasach są całkowite (a w drugim nawet na pewno naturalne), zaś 23 jest
liczbą pierwszą, jedyną opcją byłoby
2
k − 3
l = 1
2
k + 3
l = 23
Skąd
2*2
k = 24
2
k = 12
k∉N
Otrzymana sprzeczność pokazuje, że n,m nie są jednocześnie parzyste.
2
n = 23 + 3
m
Stąd 2
n > 23
n ≥ 5
Więc 2
n = 0 (mod 4)
23 = 3 (mod 4)
Stąd 3
m = 1 (mod 4)
Łatwo zauważyć, że tak dzieje się tylko dla parzystych m.
Stąd m − parzyste oraz (co wynika z tego, co pokazaliśmy najpierw) n − nieparzyste
2
n = 23 + 3
m
2
n = 2 (mod 5), gdy n∊{5, 9, 13, ...}
4 (mod 5), gdy n∊{6, 10, 14, ...}
3 (mod 5), gdy n∊{7, 11, 15, ...}
1 (mod 5), gdy n∊{8, 12, 16, ...}
Więc 2
n = 2 (mod 5) lub 2
n = 3 (mod 5)
23 = 3 (mod 5)
3
m = 3 (mod 5), gdy m∊{1, 5, 9, ...}
4 (mod 5), gdy m∊{2, 6, 10, ...}
2 (mod 5), gdy m∊{3, 7, 11, ...}
1 (mod 5), gdy m∊{4, 8, 12, ...}
Więc 3
m = 4 (mod 5) lub 3
m = 1 (mod 5)
3
m + 23 = 2 (mod 5) lub 3
m + 23 = 4 (mod 5)
Równość będzie więc zachodzić tylko, gdy 2
n = 3
m + 23 = 2 (mod 5),
a więc dla n∊{5, 9, 13, ...} oraz m∊{2, 6, 10, ...}
Czy to dokądś prowadzi − nie wiem
chodzilo mi o pokazanie że to jedyne rozwiązanie