Całka Greena Zielony: Czy mógłby ktoś sprawdzić? Oblicz całkę korzystając ze wzoru Greena. ∫_Kxy²dy−yx²dx gdzie K jest okręgiem x²+y²=1 d/dx(xy²)=y² d/dy(−yx²)=−x² ∫∫(y²−(−x²))dxdy <− tu nie wiem czy dobrze to przyjąłem Przechodzę na biegunowe 0≤r≤1 0≤φ≤2π J:r ∫₀¹∫₀^2π((rsinφ)²+(rcosφ)²)r)dφdr ∫₀¹∫₀^2πr³dφdr

	1
2π∫01r3dr =		π − wynik
	2

Nie wiem co sie liczy Greenem, pole czy obwód, w obu wypadkach wynik wychodzi mi zły.

Benny: Wzór Greena zamienia Ci całkę krzywoliniową po łuku zamkniętym na całkę podwójną po obszarze wewnątrz łuku.

	dQ		dP
∮K(Pdx+Qdy)=∫∫D(		−		)dxdy
	dx		dy

Adamm: w którą stronę jest skierowana ta krzywa

Benny: Bez wzoru Greena. x=cosφ y=sinφ

	1		φ		1
0∫2π(cos2φsin2φ+sin2φcos2φ)dφ=		0∫2πsin2		dφ=		0∫2π(1−cos2φ)dφ=
	2		2		4

	π
=
	2

Benny: Zakładam, że dodatnio zorientowana.

Zielony: Tak, dodatnia. Dzieki.

Mila: Oblicz pole ograniczone krzywą :

x2		y2
	+		=1 elipsa
a2		b2

P=4*(−₀∫^π/2(bsin t*(acost)') dt=πab oblicz sam całkę. Przypomnij sobie zasady liczenia pola dla krzywej podanej równaniem parametrycznym.

Zielony:

	x2		y2
Nie mogę zrozumieć jak z		+		dojść do bsint*(acost)'
	a2		b2

Adamm: bo masz policzyć całkę z y po dx a dx=x'dt a ten minus to pomyłka po prostu

Adamm: a, nie w sumie sam nie wiem ja bym to zrobił tak x=arcosθ y=brsinθ x_r=acosθ x_θ=−arsinθ y_r=bsinθ y_θ=brcosθ

	xr xθ yr yθ
do podstawienia jakobian =		= abr

V=∫₀^2π∫₀¹abrdrdθ = abπ

Mila: Równanie elipsy: x=acost y=bsint, a>0 i b>0 t∊<0,2π> Jeżeli krzywa jest określona parametrycznie, x(t), y(t) są ciągłe to dla x(t) rosnącej P=_t1∫^t₂|y(t)|*(x(t))' dt Dla x(t) malejącej w określonym przedziale P=−t1∫t2|y(t)|*(x(t))' dt

	π
Liczymy pole ograniczone krzywą w I ćwiartce: t∊<0,		>
	2

x(t)=a*cos(t) jest f. malejącą, a y(t)= sin(t) ma wartości nieujemne: Zatem: P=−₀∫^π/2(bsint)*(acost)' dt=−₀∫^π/2(bsint)*(−sint)dt= =ab*₀∫^π/2sin²t dt= Policzysz sam całkę?

Mila: skorzystaj z wzoru:

	1−cos(2x)
sin2x=
	2

Adamm: Mila odnośnie tego wzoru nie lepiej jest napisać po prostu P=|∫_t1^t₂y(t)*x'(t)dt| ?

Mila: Pole obszaru ograniczone krzywą określoną parametrycznie: http://math.uni.lodz.pl/~malfil/pliki/calki3.pdf 2 strona.

Adamm: a raczej P=∫_t1^t₂|y(t)*x'(t)|dt bo zazwyczaj |∫f(x)dx|≠∫|f(x)|dx