Całka ze wzoru Greena po okręgu
Cyrkiel: Witam, mam do policzenia taką całke po okręgu zorientowanym dodatnio x2+y2=25
∫(x3y+2)dx+(14x4y+5y2)dy
d/dx(14x4y+5y2)=x3y
d/dy(x3y+2)=x3
Ze wzoru Greena przechodzę na to: ∫∫(x3y−x3)dxdy po x2+y2=25
Próbuje przejść na współrzędne biegunowe ale wychodzi skomplikowana całka.
Czy można to jakoś prościej obliczyć?
14 sie 14:46
Adamm: x=rcosα
y=rsinα
r∊[0;5]
α∊[0;2π]
∫05∫02πr5cos3αsinα−r4cos3α dα dr
i teraz na przykład α=φ+π to mamy
∫05∫−ππr5cos3φsinφ+r4cos3φ dφ dr
r5cos3φsinφ jest funkcją nieparzystą, więc się zeruje, a r4cos3φ parzystą, i zostaje nam
∫05∫0π2r4cos3φ dφ dr
teraz tak