Całka ze wzoru Greena po okręgu Cyrkiel: Witam, mam do policzenia taką całke po okręgu zorientowanym dodatnio x²+y²=25 ∫(x³y+2)dx+(¹₄x⁴y+5y²)dy d/dx(¹₄x⁴y+5y²)=x³y d/dy(x³y+2)=x³ Ze wzoru Greena przechodzę na to: ∫∫(x³y−x³)dxdy po x²+y²=25 Próbuje przejść na współrzędne biegunowe ale wychodzi skomplikowana całka. Czy można to jakoś prościej obliczyć?

Adamm: x=rcosα y=rsinα r∊[0;5] α∊[0;2π] ∫₀⁵∫₀^2πr⁵cos³αsinα−r⁴cos³α dα dr i teraz na przykład α=φ+π to mamy ∫₀⁵∫_−π^πr⁵cos³φsinφ+r⁴cos³φ dφ dr r⁵cos³φsinφ jest funkcją nieparzystą, więc się zeruje, a r⁴cos³φ parzystą, i zostaje nam ∫₀⁵∫₀^π2r⁴cos³φ dφ dr teraz tak

	eix+e−ix
cosx=		skąd
	2

	e3ix+e−3ix		eix+e−ix		1		3
cos3x=		+3		=		cos3x+		cosx
	8		8		4		4

i prosta całka do policzenia

Cyrkiel: dzieki