wyznacz liczbę A różniczkowalność Mikas: Wyznacz taką liczbę A ∈ R, »e funkcja f dana wzorem

	1−cos(x)
f(x)=		dla x≠0
	ex−1−x

f(x)= A dla x=0 jest różniczkowalna w zerze. Tułam się po teoriach, wykładach z analizy itp, ale nie mogę za bardzo tego zebrać w całość. Stawiam, że potrzebne będzie obliczenie pochodnej lewo i prawostronnej wyrażenia, później wykombinować coś, żeby była ciągła w zerze i fajrant, ale kurczę coś mi to nie wychodzi

Godzio:

1 − cos(x)		0
	→ [		]
ex − 1 − x		0

	1 − cos(x)		sin(x)
limx→0		=H limx→0		=
	ex − 1 − x		ex − 1

	sin(x)   x		1
limx→0		=		= 1
	ex − 1   x		1

Mikas:

	sin(x)		sin(x)   x
ostatnia linijka, zmiana		na		=1
	ex −1		ex−1   x

Nie rozumiem tego

postronny: Dzielisz licznik i mianownik przez x.

Mikas: tak, ale jakim cudem wychodzi później 1/1? dla mnie to dalej jest nieoznaczony, przeciez x−>0

Mikas:

	cos(x)
zrobiłbym drugiego d' hospitala, wyszłoby wtedy		i to przy x−> 0 daje faktycznie
	ex

	1
		.
	1

karty do gry : Gdy x → 0 to

sinx
	→ 1
x

ax − 1
	→ ln(a) , a > 0
x

karty do gry : do granicy

	ex − 1
limx → 0
	x

nie można zastosować twierdzenia d'Hospitala.

postronny:

	0
A dlaczego nie można? Masz		i stosujesz regułę H.
	0

Jerzy: postronny ma rację.

Adamm:

	ex−1
karty do gry chodzi o to, że granica		występuje przy liczeniu pochodnej
	x

funkcji wykładniczej

Mikas: ok, rozumiem mniej więcej wasz tok rozumowania. Czyli teraz liczbą A jest po prostu 1? O to chodzi w tego typu zadaniach?

Adamm: musi być ciągła by była różniczkowalna, więc musi być A=1 ale jeszcze musisz sprawdzić, czy dla A=1, pochodna w punkcie x=0 istnieje

Mikas: Tak, a dobrze rozumuję, że skoro jest to funkcja stała, to w każdym punkcie ma pochodną równą 0? Szczerze ciężko mi jest sobie wyobrazić jak miałbym to policzyć z definicji

Mikas: Tzn w sumie nie, mogę to zrobić też z definicji, momencik.

Mikas: hmm wychodzi mi coś takiego: x=0 h−>0

	f(x+h)−f(x)		1−1
lim		= na dobrą sprawę nie mamy tu zmiennych, więc
	h		0

Mikas: z czego ta pierwsza jedynka jest ciut większa od 1, a 0 z mianownika jest ciut większe niż 0, czyli powinno wyjść, ee 1? Nie, coś nie tak.

Mikas: Przepraszam, burza mózgu. W mianowniku równe 0, w liczniku ciut wiecej niż 0, 0/x=0

Mikas: Jeżeli to w miarę o to chodziło to dziękuję wam wszystkim za pomoc.

Mikas:

	f(x+h)−f(x)		1−1
lim		= lim
	h		0+

Jerzy: ...= lim_x→0e^x = [e⁰] = 1