grupy Adamm: mam pytanie mamy jakiś homomorfizm f:G→G' i tworzymy zbiór H w ten sposób jeśli f(h)=f(e) to h∊H, gdzie e jest jednością jak udowodnić że H jest dzielnikiem właściwym G?

Adamm: e jest jednością G, oczywiście

mat: |H| jest dzielnikiem właściwym |G|?

Adamm: proszę?

mat: w senie ze moc zbioru H, i moc zbiou G bierzemy pod uwage, tak? Bo nie znam innego dzielnika jak tego odnoszącego sie do liczb

Adamm: w sensie, dla każdego a∊G, aHa⁻¹=H

Adamm: dzielnikiem normalnym, pomyliłem

mat: aha, czyli po rpstu podgrupą normalna

Adamm: tak

mat: troche mi sie ten warunek nie podoba f(h)=f(e)⇒h∊H nie powinno byc na odwrót?

Adamm: w sensie, H to zbiór tych wszystkich h, takich że f(h)=f(e)

mat: Aha, to spoko Weźmy dowolny h∊H oraz g∊G. Pytamy czy ghg⁻¹∊H ? f(ghg⁻¹)=f(g)*f(h)*f(g⁻¹)=f(g)*f(e)*f(g⁻¹)=f(g*e*g⁻¹)=f(g*g⁻¹)=f(e) i koniec

Adamm: dziękuję! nie wiedziałem nawet jak zacząć

Adamm: nie trzeba jeszcze udowodnić że h∊gHg⁻¹ ?

mat: Nie, to co napisałem jest warunkiem równoważnym na to by podgrupa była normalna (najczęściej sie go stosuje)

mat: aHa⁻¹ = H ⇔ aHa⁻¹⊂H spróbuj pokazać

Adamm: to dlatego że h=g(g⁻¹hg)g⁻¹ ?

Adamm: czyli jeśli dla każdego h∊H oraz g∊G mamy ghg⁻¹∊H, to również g⁻¹hg∊H, więc g(g⁻¹hg)g⁻¹∊gHg⁻¹

mat: Troche mi sie nie podoba ten fragment (ze g⁻¹hg∊H). Moze tak jest, ale nie widze Niech h ∊H oraz g∊G wtedy ghg⁻¹∊H (z założenia), więc g⁻¹h⁻¹g∊H (element odwrotny istnieje) więc h⁻¹=g(g⁻¹h⁻¹g)g⁻¹∊gHg⁻¹. Zatem i h∊gHg⁻¹ (bo gHg⁻¹ grupa)

Adamm: tak, ale skoro dla każdego g to zachodzi, to w szczególności dla g⁻¹ i to po prostu chciałem przekazać

mat: tzn ja tego nie widze za bardzo, ze tak mozna sobie zrobic (z g), ale jest pozno....moze masz racje

mat: na pewno jest takie przejście: ghg⁻¹∊H to g⁻¹h⁻¹g∊H

mat: my nie mozemy tutaj tak sobie wymienić g na g⁻¹ nagle...

mat: tylko skorzystac z tego, że element odwortny istnieje i tak wyglada jak napisałem

Adamm: dlaczego? w końcu dla każdego g∊G coś takiego zachodzi

mat: w tym momencie to g jest jakby ustalone

mat: Tzn mówie, moze masz racje, najlepiej jakbym spojrzał na to jutro...

Adamm: