Rozwiń w szereg potęgowy Lippi: f(x)= ^ex_1−x, dla x∊(−1;1). Obliczyłem trzy pierwsze pochodne i mam problem z zapisaniem ich sumy w ogólnej postaci. Mając podany punkt, wokół którego było rozwinięcie, wstawiałem go i było to łatwiejsze. Teraz nie bardzo wiem jak sobie z tym poradzić. Z góry dzięki za pomoc.

Adamm:

	n 0		1		n 1		1
f(n)(x)=ex*[		*		+		*		+
			1−x				(1−x)2

n 2		2		n n	n!
	*		+...+			]
		(1−x)3			(1−x)n+1

dla x=0 mamy

	1
f(n)(0)=n!*∑k=0n
	k!

	1
f(x)=∑n=0∞∑k=0n		xn
	k!

	1
∑k=0n		→e
	k!

więc promień zbieżności szeregu to 1, jak być powinno

Lippi: Dzięki! Sam zapis chyba rozumiem, ale nie wiem jak mam na niego wpaść mając podobny przykład. Możesz trochę objaśnić?

Pytający: Jeśli znasz rozwinięcia:

1
	= ∑n=0∞ xn
1−x

	xn
ex = ∑n=0∞
	n!

Możesz skorzystać ze wzoru na mnożenie szeregów potęgowych: https://en.wikipedia.org/wiki/Power_series#Multiplication_and_division

	1		1
f(x) =		*ex = (∑n=0∞ 1*(x−0)n) * (∑n=0∞		*(x−0)n) =
	1−x		n!

	1		1
= ∑n=0∞ (∑k=0n 1*		)(x−0)n = ∑n=0∞ (∑k=0n		)xn
	(n−k)!		k!

Adamm:

	1
wzór na n−tą pochodną		zauważyłem
	1−x

na n−tą pochodną e^x już znałem zastosowałem wzór Leibniza, podstawiłem x=0, skorzystałem z definicji symbolu Newtona, podstawiłem do wzoru nie wiem co mam jeszcze wyjaśniać

Lippi: Zrozumiane. Dzięki