wykaż że, indukcja ale nie mam pomysłu jak dokończyć Daniel: Wykaż że dla n ∊ ℕ n

	2n+1 k
∑		=4n

k=0 Zrobiłem sprawdzenie dla n = 1 n =2 itp, zacząłem krok indukcyjny podstawiając n+1, i trochę po tym kroku nie mam pomysłu, a pomysł który miałem wcześniej coś poległ, bo wyszła sprzeczność. Proszę o pomoc. Dzięki z góry

kochanus_niepospolitus: n=m

	2m+1 k
∑0m		= 4m

n = m+1

	2m+3 k		2m+3 k
∑0m+1		= 1 + ∑1m+1		=

	2m+2 k−1		2m+2 k
= 1 + ∑k=1m+1		+ ∑k=1m+1		=

// w pierwszej sumie robimy: j = k−1 ;

	2m+2 0
zauważamy, że 1 =		i dorzucamy do drugiej sumy //

	2m+2 j		2m+2 k
= ∑j=0m		+ ∑k=0m+1		=

... I JESZCZE RAZ TO SAMO ...

	2m+1 j−1		2m+1 j		2m+1 k−1
= 1 + ∑j=1m		+ ∑j=1m		+ 1 + ∑k=1m+1		+

	2m+1 k
∑k=1m+1		=

	2m+1 h		2m+1 p		2m+1 g
= ∑h=0m−1		+ 4m + ∑p=0m		+ ∑g=0m

	2m+1 m+1
+		=

	2m+1 m+1		2m+1 h
=		+ ∑h=0m−1		+ 4m + 4m + 4m =

= 4*4^m = 4^m+1

	2m+1 m+1		(2m+1)!		2m+1 m
dlaczego? zauważ, że		=		=		<−−− 'dorzucasz' do
			(m+1)!*(m)!

sumy i masz

kochanus_niepospolitus: tam zamiast 'g' winno być nadal 'k'

Adamm:

	2n+1 k		1		2n+1 k
wystarczy zauważyć że ∑k=0n		=		∑k=02n+1		=
			2

	1
=		*(1+1)2n+1=4n
	2

Adamm:

	n k		n n−k
z prostej własności,		=