nierówność
Pro:
Niech a,b>0 oraz a2+b2=1. Jak pokazać że 1/a+1/b≥2√2+(√a/b−√b/a)2 ?
7 sie 23:15
kochanus_niepospolitus:
a
2+b
2 = 1 ⇒ (a+b)
2 −1 = 2ab
wiemy także, że a,b ∊ (0;1)
| | a | | b | | a2+b2 | |
P = 2√2 + ( |
| − 2√1 + |
| ) = 2√2 + |
| − 2 |
| | b | | a | | ab | |
| a+b | | a2+b2 | |
| ≥ 2√2 + ( |
| − 2) |
| ab | | ab | |
a+b ≥ 2
√2ab + 1 − 2ab
a+b ≥ 2
√2[ (a+b)
2−1 ] + 1 − 2[ (a+b)
2 − 1 ]
niech x = a+b
x ≥ 2
√2( x
2−1) − 2[x
2−1]
0 ≥ (2
√2−2)x
2 − x − (2
√2 − 2)
Prawa strona przedstawia parabolę z ramionami skierowanymi do góry (bo 2
√2 > 2).
f(x) = (2
√2−2)x
2 − x − (2
√2 − 2)
f(0) = −2
√2 + 2 < 0
f(1) = 2
√2 − 2 − 1 − 2
√2 + 2 = −1 < 0
f(1.5) = 2
√2*2.25 − 4.5 − 1.5 − 2
√2 + 2 = 0.25
√2 − 4 < 0
f(2) = 8
√2 − 8 − 2 − 2
√2 + 2 = 6
√2 − 8 > 6*1.4 − 8 = 8.4 − 8 > 0
i teraz:
a
2+b
2 = 1 −> b =
√1−a2
f(a) = a+
√1−a2
f'(a) = ....
więc f(x) < 0
więc nierówność spełniona
8 sie 09:36
Pro: Dzieki a kiedy zachodzi równość?
8 sie 09:52
kochanus_niepospolitus:
L = 2
√2
P = 2
√2
hmmm ... to czemu mi wyszła funkcja ujemna w tym miejscu ... hmmm
8 sie 09:59
Pytający:
Machnąłeś się podstawiając (a+b)2 −1 = 2ab:
a+b ≥ 2√2ab + 1 − 2ab
a+b ≥ 1√2[ (a+b)2−1 ] + 1 − 1[ (a+b)2 − 1 ]
x=a+b
0 ≥ (√2−1)x2 − x − √2 + 2
Rozwiązaniem tej nierówności jest x∊<1,√2>. Przedział ten zawiera wszystkie wartości
przyjmowane przez a+b, gdyż dla a∊(0,1) mamy:
1 < a+√1−a2 ≤ √2
Zatem wyjściowa nierówność jest spełniona.
8 sie 14:12
kochanus_niepospolitus:
Wielkie dzięki ... faktycznie, tam tego byka zasadziłem
8 sie 14:23