rówania Druh: Niech x,y rzeczywiste i takie że (x +√1+y²)(y +√1+x²)=1. Wykaż że (x +√1+x²)(y +√1+y²)=1. Jak to pokazać naprosciej?

mat: y=−x (x+√1+x²)(−x+√1+(−x)²)=(√1+x²+x)(√1+x²−x)=(1+x²)−x²=1

Druh: Nie rozumiem , możesz wyjaśnić

mat: w sesnie czemu y=−x, tak?

Druh: no tak

mat: popatrz na twoje równanie, widać pewną symetrie co nie.. dlatego można sie spodziewać, ze albo y=x, albo y=−x (to drugie pasuje)

mat: sproboje to zrobic bez rozwiązania, bo w zasadzie mozna zapytac: skad wiadomo, ze to jedyne rozwiazanie

mat: Mamy: xy+x√1+x²+y√1+y²+√1+x²√1+y²=1 to wiadomo xy+x√1+y²+y√1+x²+√1+x²√1+y²=1 to mamy policzyć i znów widać, że fajnie by było jakby x²=y² Nie wiem, pewnie sie to da jakoś łopatologicznie rozpisać

Druh: A nie da się jakoś policzyć a nie tak podawać jakby zgadywać

mat: Na pewno sie da, spróbuj cos rozpisac to popatrzymy

Druh: no nie wiem naet jak rozpisać o to chodzi żeby z tego pierszego równania wyliczyc to co podałes

mat: łatwo też zauwazyć, że nie może być y>0 i x>0 (równoczesnie) jeżeli y>0, to y+√1+x²>1, więc musi być x+√1+y²<1, czyli x<0 i analogicznie jak x>0 to y<0 i znów sie nasuwa y=−x trzebaby sie zastanowic jak pokazac, ze to jedyne i tyle

Druh: Spoko a jak się pokazuje że to jedyne rozwiązanie?

mat: to zadanie dla ciebie!

Druh: Nawet nie wiem jak zacząć

Adamm: 1. x>0, y<0, |x|>|y| xy+x√1+x²+y√1+y²+√1+x²√1+y²>(y+x)[y+√1+y²]+1>1 sprzeczność 2. x>0, y<0, |y|>|x| xy+x√1+x²+y√1+y²+√1+x²√1+y²<(x+y)[y+√1+y²]+1<1 sprzeczność reszta jest symetryczna, więc nie sprawdzamy i tak wyjdzie to samo więc musi być |y|=|x| tak jak napisał mat

Adamm: jeszcze przypadek x<y<0 o którym zapomniałem ale w sumie nie wiem jak go ruszyć

mat: gdyby x<0 oraz y<0 (oczywiście x≠y), niech x<y<0 wtedy: x²>y² x+√1+y²≤0 (gdy x≤−√1+y²) y+√1+x²>y+√1+y²>0 a wtedy iloczyn byłby ujemny (bądź zerowy), sprzeczność (a ma być równy 1) −− rozważ jeszcze przypadek gdyby −√1+y²<x<y