równanie tot: Wyznacz wszystkie trójki liczb naturalnych (a,b,c) takie ze

a2+b2−c2		b2+c2−a2		c2+a2−b2		15
	+		+		=2+		.
ab		bc		ca		abc

Pytający: a,b,c∊ℕ c(a²+b²−c²)+a(b²+c²−a²)+b(c²+a²−b²)−2abc=15 a²c+b²c−c³+ab²+ac²−a³+bc²+a²b−b³−2abc=15 (−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)=15 // nie wiem, jak prosto zauważyć takie przejście Każdy z nawiasów odpowiada liczbie całkowitej, zatem trzeba rozpatrzeć rozkład 15 na trzy czynniki całkowite (parzysta liczba czynników ujemnych, czyli 0 lub 2): 1*1*15=15 (−1)*(−1)*15=15 1*(−1)*(−15)=15 1*3*5=15 (−1)*(−3)*5=15 (−1)*3*(−5)=15 1*(−3)*(−5)=15 Jednak dla a,b,c∊ℕ łatwo zauważyć, że co najwyżej jeden z nawiasów może mieć wartość ujemną. Przykładowo: −a+b+c<0 ⇒ a>b+c, zatem a−b+c>0 oraz a+b−c>0 Toteż wystarczy rozpatrzeć: 1*1*15=15 1*3*5=15 Po podstawieniu (1,1,15) mamy układ 3 równań z 3 niewiadomymi:

⎧	−a+b+c=1
⎨	a−b+c=1
⎩	a+b−c=15

Rozwiązaniem jest: a=8, b=8, c=1 Podstawiając czynniki w innych kolejnościach ((1,15,1), (15,1,1)) otrzymamy "przemieszane" rozwiązania: a=8, b=1, c=8 a=1, b=8, c=8 Z kolei czynnikom (1, 3, 5) w różnych kolejnościach odpowiadają rozwiązania: a=2, b=3, c=4 a=2, b=4, c=3 a=3, b=2, c=4 a=3, b=4, c=2 a=4, b=2, c=3 a=4, b=3, c=2 https://www.wolframalpha.com/input/?i=integer+solutions+(a%5E2%2Bb%5E2-c%5E2)%2F(ab)%2B(c%5E2%2Bb%5E2-a%5E2)%2F(bc)%2B(a%5E2%2Bc%5E2-b%5E2)%2F(ac)%3D2%2B15%2F(abc),+a%3E0,+b%3E0,+c%3E0

jc: Takie skojarzenie. a,b,c = boki trójkąta.

	r		8P2
cos α + cos β + cos δ = 1+		=1 +
	R		abc(a+b+c)

	15
U nas prawa strona = 1 +
	2abc

czyli 16P² = 15 (a+b+c) Wzór Herona daje nam (a+b+c)(a+b−c)(a−b+a)(−a+b+c) = 15(a+b+c) (a+b−c)(a−b+a)(−a+b+c) = 15