pole
Kolba: W czworokącie OAPB wiadomo że OA jest prostpadłe do OB oraz AP+PB=6. Jakie maksymalne pole ma
ten czworokąt?
29 lip 20:33
Adamm: napisz treść porządnie
29 lip 20:37
Kolba: A co z treścią jest nie tak?
29 lip 21:16
Adamm: to nie jest mój problem
29 lip 21:20
Kolba: no tak mozna kazdemu napisac: to nie mój problem
29 lip 21:29
Mila:
Trochę mało danych.
29 lip 21:38
Kolba: Moje próby: Skoro AP+PB=6, więc punkt P jest położony na elipisię, zatem żeby pole bło
maksymalne musi być AP = BP = 3.
29 lip 22:28
Mila:
Czy to jest w układzie współrzędnych i |OA| oraz |OB| są ustalone?
29 lip 23:13
Kolba: Nie to nie układ wpórzednych no właśnie są jeszcz potrzebne tylko OA i OB
29 lip 23:20
Kolba: Wg mnie OA=OB a by to pole było najwieksze. Zgadza się?
30 lip 08:16
Blee:
Maksymalne pole (9 [j2]) bedzie mi w momencie w ktorym bedzie to kwadrat.
Jednak aby to udowodnic nalezaloby najpierw udowodnic dwie rzeczy:
1) deltoid (czyli czworokat symetryczny wzgledem jeden z przekatnych) bedzie mial maksymalne
pole przy zadanej sumie dwoch bokow i miarze kata wierzcholka przeciwleglego do wierzcholka
tych dwoch bokow
2) kwadrat ma.najwieksze pole ze wszystkich deltoidow przy zadanych ... i to co wczesniej.
30 lip 10:23
Kolba: Wg mnie na pewno to nie bedzie kwadrat.
30 lip 10:45
AiO: Pokaz obliczenia na to dlaczego to nie moze byc kwadrat
30 lip 10:46
Kolba: NP dla OA=OB=10 oraz AP=PB=3 mamy wieksze pole niż 9
30 lip 11:10
Blee:
Przeciez.dla.takich dlugosci nie mozesz stworzyc czworokata przy zalozeniu ze przy wierzcholku
O masz.kat prosty. Poniewaz suma AP + PB < √OA2 + OB2
30 lip 11:17
Blee:
Te warunki zadania pokazuja ze OA + OB < 6√2
30 lip 11:19
Kolba: No ok troche przesdziłem a dla OA=OB=3,1 oraz AP=PB=3
30 lip 11:22
Blee:
No to policz sobie
30 lip 11:29
Kolba: Pole wyjdzie wieksze niż 9
30 lip 11:32
kochanus_niepospolitus:
pokaż swoje obliczenia które na to wskazują
30 lip 11:33
Kolba: Tak w przyblizeniu
pole AOB=4,805
AB=4,38
Pole ABP=4,49
30 lip 11:40
kochanus_niepospolitus:
![rysunek](rys/133205.png)
Dla ułatwienia (swojego) od razu zakładam, że udowodniliśmy, że przy symetrii względem
przekątnej (czyli |OA| = |OB| oraz |AP| = |PB| ten czworokąt będzie miał największe pole)
1) Wykazanie kresu górnego długości boku. (rys 1)
z nierówności Δ
ABP;
|AB| < |AP| + |PB| = 6
|AB| < 6
|AB| =
√|OA|2+|OB|2 = |OA|*
√2
czyli: |OA| < 3
√2
tylko wtedy w ogóle możliwe jest skonstruowanie czworokąta.
Kres dolny to oczywiście 0.
2) Wykazanie, że miara kąta przy wierzchołku P musi być ≤ 90
o pominę. Sam szybko będziesz w
stanie to wykazać.
3) Obliczenie pola dla dowolnego kąta przy wierzchołku P (rys 2)
Pole = P
ΔAOB + P
ΔAPB ;
| x2sinα | |
PΔAPB = |
| = 4.5sinα |
| 2 | |
z tw. cosinusów: |AB|
2 = 2x
2(1 − cosα) = 2y
2 ⇒ y
2 = x
2(1−cosα)
P
ΔAOB = x
2(1−cosα) = 9(1−cosα)
Pole = 4.5(1 + sinα − cosα)
I teraz masz funkcję:
f(x) = 1 + sinx − cosx ; x∊(0;90
o> znajdź maksimum
f' = cosx + sinx
Funkcja na tym przydziale posiada jedno ekstremum (ale jest to minimum).
f(0) = 2 (ale 0 nie należy do dziedziny)
f(π/2) = 2 (więc mamy największą wartość funkcji)
Podsumowując:
dla α = 90
o (czyli mamy kwadrat) pole tego czworokąta będzie największe i będzie wynosić 9
[j
2]
30 lip 11:49
kochanus_niepospolitus:
OBLICZENIA swoje pokaż a nie wyniki i to jeszcze w przybliżeniu.
Przy Twoich przybliżeniach:
|AB| = 4.38
z tw. cosinusów:
| 19,1844 | |
4.382 = 18(1 − cosα) ⇒ |
| = 1 − cosα ⇔ cosα = −0,0658 czyli masz kąt WIĘKSZY |
| 18 | |
od 90
o czyli P
ΔAPB ZMNIEJSZA pole tego czworokąta.
30 lip 11:55
kochanus_niepospolitus:
tfu ... oczywiście, żle napisałem ... funkcja f(x) ma dziedzinę D
f = (0 ; 180
o) i w tym
przedziale będzie maksimum
| 3 | |
dla x = |
| π (i wartość funkcji w tym punkcie wynosi 1+√2). |
| 4 | |
Więc tak ... to nie będzie kwadrat.
Tobie pozostaje jeszcze wykazać, że czworokąt ten wininen być symetryczny względem OP.
30 lip 11:58
kochanus_niepospolitus:
punkt (2) ... ta miało być <180o a nie ≤90o
30 lip 12:01
Kolba: Ok a czemu np taki spsób nie jest ok gdzie jest błąd?
AP=PB=3 oraz |OA| = |OB|
Niech AB=2x
Wtedy PoleABP = x *
√9−x2 oraz PoleOAB =x
2.
Wiec Pole=x *
√9−x2+x
2
Niech t=x
2
t(9−t) = (k −t)
2
Delta
4k
2 + 36k + 81 >= 0,
| 9+√162 | |
k<= |
| − to jest właśnie maksymalne pole ![](emots/2/pytajnik.gif) |
| 2 | |
30 lip 12:09
Kolba: Ale nie umiem wykazć czemu AP=PB=3 oraz |OA| = |OB| ?
30 lip 12:11
Blee:
Co to za wielomian i skad masz nagle k
30 lip 12:25
jc:
![rysunek](rys/133206.png)
Rysunek przedstawia czworokąt o największym polu.
Czworokąt składa z dwóch trójkątów równoramiennych.
BP=AP=3
kąt BOP = kąt POA = 45
o
Wystarczy teraz policzyć pole.
30 lip 12:27
Blee:
No to pomysl jak wykazac symetrycznosc wzgledem przekatnej.
Ja lece na plaze gole studentki podziwiac.
30 lip 12:27
Kolba: Nie twierdze ze jest ok
k=x *√9−x2+x2 −pole czworokata
30 lip 12:29
jc: Jeśli się nie mylę, pole = 9(1+√2)/2.
30 lip 12:31
Kolba: O którym polu piszesz?
30 lip 12:33
Kolba: A czemu mój sposób nie jest dobry
30 lip 12:34
jc: O polu czworokąta AOBP.
30 lip 12:35
jc: Nie wiem, czy jest dobry, czy zły.
Wiem natomiast, że spośród wielokątów o zadanym obwodzie, największe pole ma
ma wielokąt foremny. Tak samo jest z ośmiokątem.
30 lip 12:39
Kolba: ale mi wyszło wieksze....
30 lip 12:39
jc: A jak wygląda Twój czworokąt?
30 lip 12:42
Kolba: No tak
Niech AB=2x
Skoro AP+PB=6, więc punkt P jest położony na elipisię, zatem żeby pole bło
maksymalne musi być AP = BP = 3 i podobnie OA = OB.
PoleOAB =x2 oraz PoleABP = x *√9−x2
30 lip 12:47
jc: Masz dobry wynik.
162 = 2*9*9
√162=9√2
Twoje pole = moje pole.
30 lip 12:50
Kolba: oki dzieki
30 lip 12:53