liczby zespolone Adamm:

	3+4i
Dowieść że (		)n≠1 dla n∊ℤ+
	5

Mariusz: Indukcyjnie czy może z wzoru de Moivre

Adamm: z wzoru de Moivre'a musiałbym wiedzieć że arccos(3/5) oraz arcsin(3/5) nie są wymiernymi krotnościami liczby π, a tego nie wiem i nie wiem jak to okazać, jeśli to prawda indukcyjnie raczej nic się nie zrobi

jc: Pokaż coś ogólniejszego, a mianowicie, że jeśli a,b ∊ Z i (a+bi)ⁿ ∊ Z, to a+bi = ±k, ±ki, ±k±ki, k∊Z. 3+4i nie jest tej postaci. Jak przeprowadzić dowód? Co będzie w przypadku n=kp, gdzie p jest nieparzystą liczbą pierwszą. n=kp, w=z^k= A+Bi, A+Bi. Pokaż, że B=0. Wystarczy, że przedstawisz potęgę w postaci sumy. −−− Przykład p=5. Możemy założyć, że nwd(A,B)=1. (A+Bi)⁵ = (A⁵ − 10A³B² + 5AB⁴) + Bi (5A⁴ − 10A²B² + B⁴) Drugi składnik = 0. 5|B, ale wtedy dla B≠0, 5² | 5A² i 5|B, co przeczy temu, że nwd(A,B)=1. Zatem B=0. −−− Pozostanie przypadek n=2^m. Dla m=0,1,2,3 znamy rozwiązanie (wymieniłem na początku). Czy m=4 może dać coś więcej? (x+yi)² = k(±1 ± i) nie ma rozwiązań w całkowitych x,y za wyjątkiem x=y=0. Mniej więcej tak to sobie wyobrażam,

Adamm: dziękuję