funkcja wypukła-studia Olga: Niech a <b <c <d oraz niech f będzie wypukła w [a, c] i [b, d]. Pokaż, że f jest wypukła w [a, d].

kochanus_niepospolitus: Po pierwsze taka uwaga −−− przedziałów wypukłości, tak samo jak monotoniczności NIE PODAJEMY za pomocą przedziałów domkniętych Skoro funkcja f(x) jest wypukła na przedziale (a,c) to oznacza, że funkcja ta na podanym przedziale jest określona (czyli ∀_x∊(a,c) x∊D_f) oraz jest funkcją klasy (minimum) C² na tymże przedziale (czyli ∀_x∊(a,c) x∊D_f' ∧ x∊D_f'') Analogicznie dla przedziału (b,d). Skoro b<c to funkcja ta jest wypukła w przedziałach: (a,b) ; (b,c); (c,d). W takim razie funkcja f(x) jest wypukła w przedziałach: (a,b) i (b,d). Skoro jest wypukła w (a,c), to także będzie ona wypukła w (a,d).

jc: kochanus_niepospolitus, Tak samo, jak w przypadku monotoniczności, jak najbardziej możemy podawać przedziały domknięte. W czym problem? Funkcja wypukła jest ciągła, ale nie musi być różniczkowalna. Funkcja f(x)=|x| jest wypukła, ale nie jest różniczkowalna w zerze. Nie zdziwiłbym się, gdyby istniała funkcja wypukła nigdzie nie różniczkowalna.

kochanus_niepospolitus: jc ... akurat funkcja f(x) = |x| NIE JEST wypukła (ani nie jest wklęsła). funkcja jest wypukła (na przedziale (a,b) ) jeżeli zachodzi: ∀_{x,xo ∊ (a,b)} f(x) − f(x_o) ≥ f'(x_o)(x−x_o) innymi słowy, jeżeli STYCZNA (dla punktu x_o ∊ (a,b) ) leży poniżej wykresu funkcji (w otoczeniu tegoż punktu x_o) funkcji dla dowolnego x z badanego przedziału. Funkcja f(x) = |x| w punkcie x=0 posiada nieskończenie wiele stycznych.

kochanus_niepospolitus: Okey ... dobra ... funkcja może nie być różniczkowalna i być jednocześnie wklęsła ... ale akurat przykład z f(x) = |x| nadal nie pasuje mi ze względu na nieskończoną liczbę stycznych

kochanus_niepospolitus: no to w tym zadaniu trza by było odnieść się do definicji ogólniejszej: ∀_{x1, x2 ∊ (a,d)} ∀_{n,m ∊ [0;1] ; n+m=1} f(nx₁ + mx₂} ≤ nf(x₁) + mf(x₂) i wtedy faktycznie f(x) = |x| będzie wklęsła pytanie tylko, czy taką definicję miała studentka wprowadzoną na zajęciach (a powątpiewam w to)

jc: Czy potrafisz wskazać podręcznik, w którym jest inna definicja wypukłości?

Olga: Taka była def

	f(x)−f(y)
∀ y∊[a,b] funkcja [a,b]−{y}∍x →		jest niemalejąca.
	x−y