funkcja wypukła-studia
Olga:
Niech a <b <c <d oraz niech f będzie wypukła w [a, c] i [b, d].
Pokaż, że f jest wypukła w [a, d].
25 lip 08:17
kochanus_niepospolitus:
Po pierwsze taka uwaga −−− przedziałów wypukłości, tak samo jak monotoniczności NIE PODAJEMY za
pomocą przedziałów domkniętych
![](emots/2/wykrzyknik.gif)
Skoro funkcja f(x) jest wypukła na przedziale (a,c) to oznacza, że funkcja ta na podanym
przedziale jest określona (czyli ∀
x∊(a,c) x∊D
f) oraz jest funkcją klasy (minimum) C
2 na
tymże przedziale (czyli ∀
x∊(a,c) x∊D
f' ∧ x∊D
f'')
Analogicznie dla przedziału (b,d).
Skoro b<c to funkcja ta jest wypukła w przedziałach: (a,b) ; (b,c); (c,d).
W takim razie funkcja f(x) jest wypukła w przedziałach: (a,b) i (b,d).
Skoro jest wypukła w (a,c), to także będzie ona wypukła w (a,d).
25 lip 09:12
jc: kochanusniepospolitus,
Tak samo, jak w przypadku monotoniczności, jak najbardziej możemy podawać
przedziały domknięte. W czym problem?
Funkcja wypukła jest ciągła, ale nie musi być różniczkowalna.
Funkcja f(x)=|x| jest wypukła, ale nie jest różniczkowalna w zerze.
Nie zdziwiłbym się, gdyby istniała funkcja wypukła nigdzie nie różniczkowalna.
25 lip 09:40
kochanus_niepospolitus:
jc ... akurat funkcja f(x) = |x| NIE JEST wypukła (ani nie jest wklęsła).
funkcja jest wypukła (na przedziale (a,b) ) jeżeli zachodzi:
∀x,xo ∊ (a,b) f(x) − f(xo) ≥ f'(xo)(x−xo)
innymi słowy, jeżeli STYCZNA (dla punktu xo ∊ (a,b) ) leży poniżej wykresu funkcji (w
otoczeniu tegoż punktu xo) funkcji dla dowolnego x z badanego przedziału.
Funkcja f(x) = |x| w punkcie x=0 posiada nieskończenie wiele stycznych.
25 lip 10:05
kochanus_niepospolitus:
Okey ... dobra ... funkcja może nie być różniczkowalna i być jednocześnie wklęsła ... ale
akurat przykład z f(x) = |x| nadal nie pasuje mi ze względu na nieskończoną liczbę stycznych
25 lip 10:07
kochanus_niepospolitus:
no to w tym zadaniu trza by było odnieść się do definicji ogólniejszej:
∀x1, x2 ∊ (a,d) ∀n,m ∊ [0;1] ; n+m=1 f(nx1 + mx2} ≤ nf(x1) + mf(x2)
i wtedy faktycznie f(x) = |x| będzie wklęsła
pytanie tylko, czy taką definicję miała studentka wprowadzoną na zajęciach (a powątpiewam w to)
25 lip 10:10
jc: Czy potrafisz wskazać podręcznik, w którym jest inna definicja wypukłości?
25 lip 10:23
Olga: Taka była def
| f(x)−f(y) | |
∀ y∊[a,b] funkcja [a,b]−{y}∍x → |
| jest niemalejąca. |
| x−y | |
25 lip 10:38