wyznaczniki Adamm: dowieść tożsamości | 0 1 1 1 | | 0 x y z | | 1 0 z² y² | = | x 0 z y | = −(x+y+z)(x+y−z)(x−y+z)(−x+y+z) | 1 z² 0 x² | | y z 0 x | | 1 y² x² 0 | | z y x 0 | rozumiem że można wszystko sobie wymnożyć, ale nie o to mi chodzi

jc: Druga macierz jest podobna do macierzy diagonalnej, w której na przekątnej stoją (x+y+z), (−x+y−z), (x−y−z), (−x−y+z). −−−−−−− Jak to zobaczyłem? Zauważyłem, że macierz jest sumą iloczynów tensorowych macierzy (oznaczyłem gwiazdką). 1 oznacza macierz jednostkową, X i Z to macierze sigma Pauliego.

	0 1 1 0		1 0 0 −1
X=		, Z=

Macierze X i Z są do siebie podobne. x 1*X + y X*1 + z X*X jest podobna do x 1*Z + y Z*1 + z Z*Z −−−−−−−−−−− Jak nie chcesz wiedzieć, co to iloczyn tensorowy macierzy, to po prostu pomnóż z lewej i prawej strony przez macierz Hadamarda (wiki), a otrzymasz macierz diagonalną. Kolumny macierzy Hadamarda są wektorami własnymi Twojej macierzy. Z drugiej strony, w definicji macierzy Hadamarda 4x4 jest ukryty iloczyn tensorowy.

	1 1 1 −1		1 1 1 −1
(1/4)		*		.

Adamm: ok, dziękuję za odpowiedź ale mam parę pytań 1. czy iloczyn tensorowy, oraz dodawanie macierzy, "zachowuje" podobieństwo? tzn., czy na tej podstawie stwierdzamy podobieństwo tych dwóch macierzy? 2. czemu akurat macierze sigma Pauliego? po prostu pasowały? 3. czy zawsze jeżeli będę mógł łatwo wyznaczyć wektory własne macierzy A, mogę pomnożyć macierz zbudowaną z tych wektorów przez A, i ułatwi mi to obliczenie wyznacznika? dostane wtedy macierz zbudowaną z tych wektorów, z kolumnami przemnożonymi przez odpowiednie wartości własne tej macierzy? czy to oznacza że iloczyn wartości własnych jest równy wyznacznikowi?

jc: 1. Iloczyn tensorowy macierzy

a b c d		p q r s
	o		=

[ap aq bp bq] [ar as br bs] [cp cq dp dq] [cr cs dr ds] 2. Własność mnożenia: (AoB)(CoD) = (AC)o(BD) (ale wymiary muszą pasować)

	1		1 1 1 −1		0 1 1 0		1 1 1 −1		1 0 0 −1
3.								=
	2

	1	1 1 1 −1		1 0 0 1
			2 =
	2

	0 1 1 0		1 0 0 −1
4. Dlatego mogłem zamienić		na		, otrzymując macierz

diagonalną.