Funkcje - matematyka dyskretna
Michał: @
mat
https://puu.sh/wPAGX/946f51652c.png − Witam, prosiłbym o ogólny schemat zadań. Nie chodzi mi o to, żeby zrobić to za mnie, bo
uczę się dla siebie, tylko o krótkie wytłumaczenie dlaczego coś działa w dany sposób.
9)
Funkcja jest odwracalna jeśli jest identycznościowa i przekształca zbiór S → T.
Wiemy, że f i g są odwracalne, więc są również identycznościowymi funkcjami, tylko musimy
jeszcze sprawdzić czy przekształcają zbiory.
g o f = g(f(S)) = g(T) = U, => Więc g o f przekształca S → T → U, czyli jest odwracalna. To
tyle?
Druga część zadania:
(g o f)
−1 = f
−1 o g
−1
g o f = S → U, więc (g o f)
−1 = U → S ?
f
−1 o g
−1 => Tutaj nie mam pomysłu
10)
Jeśli f jest odwracalne, wówczas f
−1(f(x)) = x dla x ∊ S.
I możemy zrobić to samo dla g = f
−1: T → S. Ponieważ wtedy g
−1(g(y)) = y dla y ∊ T.
Następnie mamy (f
−1)
−1. Przyjęliśmy, że g = f
−1, więc mamy g
−1. g: T → S, więc
g
−1: S → T, tak samo jak f, więc dzięki temu udowodniliśmy, że (f
−1)
−1 = f.
11)
a) Nie do końca rozumiem o co tutaj chodzi. Wiem tylko, że g o f = I
S, czyli g(f(x)) jest
funkcją tożsamościową, więc g(f(x)) = x. Dalej nie wiem.
b) Na górze mamy założenie, że g: T → S, więc nie wiem jak mam to udowodnić.
12)
a) f(x
1, y
1) = f(x
2, y
2)
x
1 + y
1 = x
2 + y
2{} ∧ x
1 − y
1 = x
2 − y
2{}
Czy to kończy dowód?
b)
Przekształca "na", ponieważ x, y ∊ R, więc x + y ∊ R oraz x − y ∊ R.
c)
Nie mam pojęcia jak znaleźć funkcję odwrotną, gdy ma dwa elementy.
d)
j/w
21 lip 23:06
mat: zadanie 9
tzn to co napisałeś to prawda (prócz fragmentu:
Funkcja jest odwracalna jeśli jest identycznościowa i przekształca zbiór S → T. Wiemy, że f i g
są odwracalne, więc są również identycznościowymi funkcjami,
)
To złożenie funkcji i jej odwrotnej jest identycznością!
ale nie za duzo to nam daje
ja bym zrobil tak:
f odwracalana, więc istneieje f
−1 ze f o f
−1 = id
g odwracalna, więc istnieje g
−1 ze g o g
−1 = id
Wskaże funckje odwrotną do g o f. Będzie to (f
−1 o g
−1)! Czemu?
(g o f) o (f
−1 o g
−1)(x)
=g o (f o f
−1) o g
−1 (x)
=g o id o g
−1 (x)
=g o g
−1 (x)
=id(x)
więc rzeczywiście (f
−1 o g
−1) to odwrotna dla g o f
############
Zadanie 10
Nie do konca zrozumialem, wiec tez rozpisze:
Z założenia istnieje f
−1 taka, że f
−1(f(x))=x
ale jezeli bysmy rozwazali f
−1, to dla niej odwrotną jest f (równość wyżej), więc
(f
−1)
−1=f
11,12 jutro..
21 lip 23:53
Michał: 9)
Funkcja jest odwracalna wtedy i tylko wtedy jeśli jest
różnowartościowa i przekształca
zbiór S na zbiór T. Wiemy, że f i g są odwracalne, więc są również funkcjami
różnowartościowymi.
Nie wiem co mi się umyślało, żeby napisać, że chodzi o identycznościowe...
Nie do końca rozumiem krok:
= g o id o g−1 (x) => Tutaj rozumiem, ponieważ f o f
−1 z definicji daje nam id
= g o g−1 (x) => Gdzie teraz jest id?
= id(x) => Dlaczego tutaj jest id(x), rozumiem że z definicji g
−1(g(x)) = x, ale co się
stało z id z poprzedniego kroku?
10)
Dokładnie o to samo mi chodziło, po prostu rozpisałem to na zbiorach, aby to udowodnić (nie
wiem czy dobrze).
Dzięki za pomoc.
22 lip 10:40
jc: Aby h było funkcją odwrotną do f powinny istnieć dwa złożenia: hof i hof, i każde
powinno być identycznością (jedno to za mało).
22 lip 11:11
Michał: 14. b) Pokaż, że A ⊆ f←(f(A)) dla dowolnego podzbioru A zbioru S.
Koncepcja przeciwobrazu polega na tym, że np. f(x) = 2x i wtedy f←(2) = 1?
Czyli powiedzmy:
t ∊ f←(f(A))
t = f←(s), s ∊ f(A)
A ∊ f←(s)
A ∊ t
A ⊆ f←(f(A))
Tylko mnie zastanawia dlaczego A zawiera się w tej funkcji.
22 lip 13:45