zad s: Dla jakich wartości parametru k ∈ R równanie 6 6 sin x + cos x = k ma rozwiązanie?

Adamm: 6 6 sinx ?

s: sin⁶x+cos⁶x=k

s: moge z 1 trygonometrycznej ?

s: Adamm?

Adamm: zadanie polega na znalezieniu zbioru wartości funkcji f(x)=sin⁶x+cos⁶x wzory skróconego mnożenia a³+b³=(a+b)(a²−ab+b²) (a+b)²=a²+2ab+b² jedynka tryg. sin²x+cos²x=1 sinus podwojonego argumentu sin2x=2sinxcosx a zbiór wartości sinusa sinx∊<−1;1> składasz do kupy wszystko, i masz rozwiązanie

kochanus_niepospolitus: sin⁶x + cos⁶x = sin⁶x + (1−sin²x)³ = sin⁶x + 1 − 3sin²x + sin⁴x − sin⁶x = = 1 − 3sin²x + sin⁴x t = sin²x ; t∊<0;1> 1 − 3t + t² = k i badasz liczbę rozwiązań tego równania w zależności od parametru 'k' później wracasz z podstawieniem i wnioskujesz na podstawie poprzednich wyliczeń

kochanus_niepospolitus: oczywiście błąd mam. winno być + 3sin⁴x i po podstawieniu mamy równanie: 1−3t +3t² = k

Adamm: zrób tak jak kochanus mówi, łatwiej

kochanus_niepospolitus: Czy ja wiem czy łatwiej: sin⁶x + cos⁶x = (sin²x + cos²x)(sin⁴x − (sinxcosx)² + cos⁴x) = = 1*(sin⁴x + 2sin²xcos²x + cos⁴x − 3sin²xcos²x) =

	3
= 1*( (sin2x + cos2x)2 − 3(sinxcosx)2) = 1 −		sin2(2x)
	4

	3
1 −		sin2(2x) = k
	4

	3
1 − k =		sin2(2x)
	4

4−4k
	= sin2(2x)
3

to też nie jest trudne jakoś szczególnie. W każdym razie, ma dwa możliwe rozwiązania, niech sam wybierze metodę którą preferuje

kochanus_niepospolitus: zwłaszcza, że zadanie tyczy się ... dla jakiego k równanie MA rozwiązanie (więc nie trzeba badać ile rozwiązań ma to równanie dla danej wartości parametru k)