Funkcje Michał: Witam, Mam problem z następującym zadaniem − https://puu.sh/wPjiM/e45883a9ca.png Rozumiem na czym polega zbiór potęgowy, ale nie wiem jak wykorzystać go w tej sytuacji, proszę o pomoc.

mat: a) dla przykładu suma: F: P(N) x P(N) → X , P(A,B)=A u B. Pytamy czy X⊂P(N) P(N) to zbiór wszystkich podzbiorów N, więc A i B są pewnymi takimi podzbiorami suma dwóch podzbiorów złożonych z liczb naturalnych jest dalej podzbiorem liczb naturalnych, więc A u B ∊P(N) więc można napisać F: P(N) x P(N) → P(N)

mat: b) znów zrobie dla SUMY weźmy A={1}, B={2} wtedy F(A,B)={1,2} ale również F(B,A)={1,2} więc nie ma różnowartościowości

mat: c) rozumiem, że F^← oznacza przeciwobraz wtedy dla sumy: Jeżeli wartością ma być ∅, to zarówno A jak i B musza być zbiorami pustymi czyli F(A,B)=∅ ⇒A=B=∅ (w przypadku iloczynu wsytarczy ze jeden z nich będzie) natomiast co przechodzi na {0}, może to być A=∅ i B={0} lub A={0} i B=∅ lub A={0} i B={0} wtedy F(A,B)={0}

mat: do a) biorąc dowolny podzbiór N, A oraz B=∅ to F(A,B)=A u B = A czyli rzeczywiście idziemy NA zbiór P(N)

Michał: a) Przez problemy z prądem ucięło mi ostatnią wiadomość...: Pozostałe dwa przypadki: Jeśli A ≠ ∅ ⋀ B ≠ ∅ to P(A, B) = A ⋀ B, gdzie A i B to zbiory liczb naturalnych, więc z ich iloczynu może powstać jedynie zbiór liczb naturalnych. Jeśli A lub B jest zbiorem pustym wówczas A ⋀ B jest również zbiorem pustym, a więc należy do P(N) jako zbiór prymitywny. Dla P(A, B) = (A ∪ B) − (A ∧ B), jeśli A ⋀ B jest zbiorem pustym to A ∪ B co udowodniliśmy na początku że jest prawdą. Jeśli jest zbiorem niepustym to odejmujemy od zbioru liczb naturalnych (co wykazaliśmy na początku) zbiór liczb naturalnych (co wykazaliśmy w drugim punkcie), więc pozostaje to dalej w P(N). b) Dla iloczynu: A = {1, 2, 3}, B = {1, 2} F(A, B) = {1, 2} Ale jest to również prawda dla np. A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2}, więc funkcja nie jest różnowartościowa. Dla sym (jak to się nazywa?): A = {1}, B = {1} F(A, B) = ∅ Ale również F(A, B) = ∅ dla A = {2}, B = {2}. Również nie jest różnowartościowa. c) Dla sumy wymieniony przez Ciebie: A = ∅ ⋀ B = ∅, więc jedno rozwiązanie. Oraz A = 0 ⋀ B = 0. Dla iloczynów też wszystko zostało wymienione. I na koniec jest nieskończona liczba rozwiązań co udowodniłem w punkcie b), ponieważ jeśli oba zbiory są sobie równe A = B, wówczas P(A, B) = ∅. Jeśli chodzi o F←({0}) to jedynym rozwiązaniem jest A = ∅, B = 0 oraz A = 0, B = ∅. Ponieważ dwa zera by się wzajemnie wykluczyły i dały zbiór pusty. Czy dobrze rozumiem te podpunkty? I oczywiście bardzo dziękuję za poświęcony czas.

mat: a, b) ogólnie ok, żeby pokazać jeszcze ze to idzie NA zbiór P(N) a iloczynie wez A −dowolny zbior, wtedy F(A,A)=A czyli dostajemy dowolny w róznicy symetrycznej A − dowlny zbior, B=∅ wtedy F(A,B)=A chodzi o to, zeby pokazac, ze wartosci F wyczerpują CAŁY zbiór P(N) ok c) jezeli chodzi o zbior pusty iloczyn: wystarczy wziąc dowolne dwa zbiory rozłączne, wtedy F(A,B)=∅, albo oba puste różnica symetryczna: gdy A=B, to wtedy F(A,B)=∅ jezeli chodzi o zbiór {0} iloczyn: oba zbiory muszą być postaci A={0} u A₁, B={0} u B₁ oraz A₁ ∩B₁=∅ np A={0,1,2,3}, B={0,5,6} różnica symetryczna: A={0} u B, {0}∉B, B−dowolny i symetrycznie to samo B={0} u A, {0}∉A, A−dowolny

Michał: To dziękuję serdecznie drugi dzień z rzędu. Bardzo mi to pomogło. Dobrego dnia.

mat: