Funkcje Michał: Pokaż, że jeśli f: S → T i g: T → U są funkcjami różnowartościowymi, to funkcja g(f(x)) jest też różnowartościowa.

Michał: 2. Udowodnij, że złożenie funkcji jest łączne.

mat: Niech g(f(x₁))=g(f(x₂)) g jest różowartościowa, więc f(x₁)=f(x₂) ale również f jest równowartościowa, więc x₁=x₂ czyli mamy g(f(x₁))=g(f(x₂))⇒x₁=x₂, czyli różnowartościowśc złożenia

mat: h o (g o f) (x) = h o g(f(x)) = (h o g)(f(x)) = (h o g) o f(x) więc h o (g o f) = (h o g) o f

Michał: Drugi punkt rozumiem i dziękuję. Jednak w pierwszym punkcie skąd wiemy, że g(f(x₁))=g(f(x₂))?

mat: No zakładamy, że g(f(x₁))=g(f(x₂)) i chcemy pokazać, że x₁=x₂ (taka jest definicja funkcji różnowartosciowej) g(f(x₁))=g(f(x₂)) ⇒z założenia, że g jest różnowartościowa⇒f(x₁)=f(x₂) ⇒z założenia, że f jest różnowartościowa⇒x₁=x₂

mat: Funkcja h jest różowartościowa gdy zachodzi: h(x₁)=h(x₂) ⇒x₁=x₂ jest też inna definicja: x₁≠x₂⇒ h(x₁)≠h(x₂) Oczywiście to znaczy to samo!

Michał: Przepraszam, że zabieram czas. To rozumiem, chodzi mi jedynie o fragment: f: S → T i g: T → U Jaki on ma wpływ na to zadanie?

mat: po to zeby w ogóle miało sens złożenie g(f(x)) f przyjmuje wartości w zbiorze T, g przyjmuje jako argumenty wartości f, więc dziedziną g musi być T (dziedzina g pokrywa sie ze zbiorem wartości f) zbiory S,U są tylko podane dla porządku (tu już dowolność)

Michał: Aaaa... To ma sens, dzięki wielkie za wytłumaczenie i dobrego dnia życzę.

mat: tobie również

Michał: Jeszcze mam dodatkowe pytanie: Weźmy funkcje f i g przekształcające zbiór Z na zbiór Z, gdzie f(n) = n − 1 dla n ∊ Z, a g jest funkcją charakterystyczną x_E zbioru E = {n ∊ Z: n jest parzy Pokaż że funkcja przyjmuje f o g wartości przeciwne do g o f. Czy dowód następujący jest wystarczający? Dla n ∊ Parzystych to g(n−1) = 0; f(1) = 0 ... L = P Dla n ∊ Nieparzystych to g(n−1) = 1; f(0) = −1 => Wartości są przeciwne I martwi mnie to, że dla przypadku, gdzie n jest parzyste wartości wyrażeń są tożsame i tylko dla przypadku liczb nieparzystych są przeciwne. Czy jest to poprawnie wykonane?

mat: f(n)=n−1 natomiast g(n)=1 gdy n parzyste i g(n)=0, gdy n nieparzyste rozważmy funkcję f o g: f(g(n))=g(n)−1 natomiast jeżeli chodzi o g o f: g(f(n))=g(n−1) = 0 gdy n parzyste (bo wtedy n−1 jest nieparzyste) orz 1 gdy n nieparzyste 1) jeżeli n parzyste, to f(g(n))=0, natomiast g(f(n))=0 2) jeżeli n − nieparzyste, to f(g(n))=−1, natomiast g(f(n)))=1

mat: 0 to liczba przeciwna dla 0 a −1 dla 1