ukła kuba: Rozwiąż układ x²−y=2 y²−z=2 z²−x=2

g: np. x=y=z=2

Pytający: y=x²−2 z=y²−2=(x²−2)²−2=x⁴−4x²+2 x=z²−2=(x⁴−4x²+2)²−2=x⁸−8x⁶+20x⁴−16x²+2 x⁸−8x⁶+20x⁴−16x²−x+2=0 (x−2)(x+1)(x³−3x+1)(x³+x²−2x−1)=0 Toteż dwa "proste" rozwiązania to: x=y=z=2 x=y=z=−1 Pozostałe sześć rozwiązań otrzymasz wyznaczając pierwiastki powyższych równań trzeciego stopnia, tu masz przybliżenia (y, z wyznaczasz z pierwszych dwóch równań): https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E3-3x%2B1%3D0 https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E3%2Bx%5E2-2x-1%3D0 Ewentualnie masz od razu przybliżenia wszystkich rozwiązań: https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+x%5E2%E2%88%92y%3D2,+y%5E2%E2%88%92z%3D2,+z%5E2%E2%88%92x%3D2

jc: Podstawiłem x=z+1/z i otrzymałem x=2, −1 x=2cos 2π/7 , 2cos 4π/7, 2cos 6π/7 x=2cos 2π/9, 2cos 4π/9, 2cos 8π/9 Ale może coś pomyliłem?

jc: Dokładniej, po podstawieniu x=z+1/z do równania ((x²−2)²−2)²−x=0 otrzymujemy równanie (z⁷−1)(z⁹−1)/z⁸ = 0.

jc: Powinno być: ((x²−2)²−2)²−2−x=0.

Adamm: skąd pomysł na takie podstawienie? to że ((x²−2)²−2)²−2 jest parzyste?

Adamm: a, no tak już wiem skąd

jc: x= 2 cos a f(2 cos a) = 2 cos 2a Nasze równanie 2 cos 8a = 2cos a, czyli 0=cos 8a − cos a = 2 sin 9a/2 sin 7a/2