liczby gośka: Trzy liczby całkowite a, b oraz c (gdie 400 <a<b<c <7000) tworzą ciąg arymetyczny. Dodatkowo sumy a + b, b + c oraz c + a są kwadratami liczb. Wyznacz a,b,c.

Sophie:

kochanus_niepospolitus: skąd masz takie zadanie?

gośka: możesz pomóc

kochanus_niepospolitus: Napisz skąd masz to zadanie, samo rozwiązanie nie jest dosyć skomplikowane, ale wymaga 'wpadnięcia na pomysł' co sugeruje, że jest to jakieś zadanie z olimpiady czy coś w tym rodzaju

gośka: czemu z olimpiady?

gośka: to u mnie na sprawdzianie jako dodatkowe

kochanus_niepospolitus: Na jakim poziomie nauczania jesteś? Czemu z olimpiady? Bo patrzę na kroki jakie trzeba było pokonać, aby uzyskać rozwiązanie.

gośka: na studiach z dydaktyki

kochanus_niepospolitus: No to mogę Ciebie NAPROWADZIĆ na rozwiązanie i (jako bonus) dodać jedno z (wielu) rozwiązań, natomiast już sama będziesz musiała pomyśleć jak to dokładnie rozwiązać.

kochanus_niepospolitus: Pasuje?

gośka: oki

kochanus_niepospolitus: 1) należy zauważyć, że wyrazy: 'a+b' ; 'a+c' ; 'b+c' także tworzą ciąg arytmetyczny (o tej samej różnicy co wyjściowy ciąg a,b,c) zapiszmy: a = a b = a + r c = a + 2r 2) zauważmy, że skoro 400 <a<b<c <7000 to wyrażenia z pkt (1) są w przedziale (800 ; 14000) 3) skoro te wyrażenia mają być kwadratami jakiś liczb (całkowitych) to z tego wynika, że będą to jakieś liczby z zakresu: 'od 29 liczby naturalnej' (bo 29² = 841 > 800) 'do 118 liczby naturalnej' (bo 118² = 13924 < 14000). 4) należy zauważyć, że różnica pomiędzy kwadratami dwóch kolejnych liczb naturalnych nie jest liczbą 'przypadkową' tylko jest kolejną liczbą naturalną nieparzystą np. kwadraty 2 i 3 liczby naturalnej to 4 i 9 ... różnica to 5 ... a '5' to 3 liczba naturalne nieparzysta w zapisie matematycznym: k² − (k−1)² = 2k − 1 ; gdzie k oznacza k'tą liczbę naturalną podnoszoną do potęgi 5) należy zauważyć, że aby zachodziła równość o której mowa w zadaniu to 'suma różnic kwadratów kolejnych liczb naturalnych' musi się sobie równać 6) zapiszmy sobie parę kolejnych różnic: 59,61,63,65,67,69,71,73,75 zauważamy taką zależność: 69 − 67 = 2, 71−65 = 6 itd. 7) załóżmy teraz, że nasz 'środkowa' liczba (czyli 'a+c' ) byłaby 69 = 2n−1 −> 35 liczbą naturalną podnoszoną do kwadratu to aby 'a+b' i 'b+c' były oddalone od niej o 'r' to zauważony ciąg w pkt 6 (postaci: x_n = 2 + 4(n−1) ; S_n = 2n²) musi się równać określonej sumie 'różnic' 8) zauważ, że ciąg S_n będzie liczbą parzystą I w ten sposób dochodzimy do tego, że takimi liczbami 'a+b' ; 'a+c' ; 'b+c' mogą być np. 2401 ; 3721 ; 5041 które są kwadratami liczb: 49 ; 61 i 71. UWAGA TO NIE JEST ROZWIĄZANIE DO TEGO ZADANIA Ponieważ nie jest spełniony warunek: a,b,c są liczbami całkowitymi.

kochanus_niepospolitus: PS. Są dwa takie ciągi w zadanym obszarze

kochanus_niepospolitus: 9) zauważ, że ustawiając liczby 'symetrycznie' (czyli 'a+b' jest m'tą liczbą naturalną podniesioną do kwadratu, 'a+c' będzie (m+k) kolejna liczbą naturalna podniesioną do kwadratu, a 'b+c' będzie (m+2k) kolejną liczbą naturalna podniesioną do kwadratu) otrzymujesz 'nadmiar różnić', który można wyliczyć z ciągu określonego w pkt(7) gdzie 'k' w tym przypadku oznacza 'odległość r' 10) dla ułatwienia sprawy można sobie oszacować jaka musi być minimalna odległość 'r' oraz ile (minimalnie) będzie wynosił 'nadmiar' (czyli S_r) z 'symetrycznej odległości'. 11) oczywiście, ów 'nadmiar' musi zostać 'zredukowany' przez dołożenie paru reszt, po stronie 'a+b' A jak to będzie wyglądało w praktyce: załóżmy, że będziemy dokładać 2 reszty. Minimalne reszty to 57 i 59 ; 57+59 = 116 2n² = 116 −> n = 7,61 ... wniosek: r_min = 8 2r_min² = 128 ; szukamy dwóch kolejnych różnic kwadratów których suma da nam 128 ... będą to różnice 63 i 65. Dokładamy do nich kolejne 8 różnic (ostatnia to 81) i liczymy sumę tych dziesięciu różnic = 720 Liczymy sumę kolejnych 8 różnic (poczynając od 83) = 720 znając różnice kwadratów stosujemy zapis z punktu (4): 61 = 2k−1 −> k = 31 81 = 2k−1 −> k = 41 97 = 2k−1 −> k = 49 I sprawdzamy: 31² = 961 ; 41² = 1681 = 961 + 720 ; 97² = 2401 = 961 + 1400 Czyli dobrze wyznaczone wartości 'a+b' ; 'a+c' i 'b+c'. Natomiast same a,b,c nie spełniają warunków zadania, ponieważ nie są liczbami całkowitymi