kombinatoryka xayan: Na ile sposobów można rozmieścić 10 jednakowych kul w 5 rozróżnialnych pudełkach, gdy w drugim pudełku są dokładnie 3 kule lub w trzecim co najwyżej 4 kule lub w piątym jest co najmniej 1 kula. Wiem, że wzór wygląda tak P v Q v R = |P| + |Q| + |R| −2|P i Q| − 2|P i R| −2|Q i R| +4|P i Q i R|, mam połowę obliczoną, problem tylko jak policzyć |Q i R| i |P i Q i R|?

Pytający: Nie wiem, skąd masz dwójki i czwórkę w tym wzorze... korzystasz z zasady włączeń i wyłączeń, czyli: A − w drugim pudełku są dokładnie 3 kule B − w trzecim pudełku są co najwyżej 4 kule C − w piątym pudełku jest co najmniej 1 kula |A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|A∩C|−|B∩C|+|A∩B∩C| 1. |A| x₁+3+x₃+x₄+x₅=10, x_i≥0 x₁+x₃+x₄+x₅=7

	7+4−1 7
|A|=		=120

2. |B| x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=10, x_i≥0, x₃≤4 x₁+x₂+0+x₄+x₅=10 x₁+x₂+1+x₄+x₅=10 x₁+x₂+2+x₄+x₅=10 x₁+x₂+3+x₄+x₅=10 x₁+x₂+4+x₄+x₅=10

	10+4−1 4−1		9+4−1 4−1		8+4−1 4−1		7+4−1 4−1		6+4−1 4−1
|B|=		+		+		+		+		=875

3. |C| x₁+x₂+x₃+x₄+(x₅+1)=10, x_i≥0 x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=9

	9+5−1 5−1
|C|=		=715

4. |A∩B| x₁+3+x₃+x₄+x₅=10, x_i≥0, x₃≤4 x₁+0+x₄+x₅=7 x₁+1+x₄+x₅=7 x₁+2+x₄+x₅=7 x₁+3+x₄+x₅=7 x₁+4+x₄+x₅=7

	7+3−1 3−1		6+3−1 3−1		5+3−1 3−1		4+3−1 3−1		3+3−1 3−1
|A∩B|=		+		+		+		+		=110

5. |A∩C| x₁+3+x₃+x₄+(x₅+1)=10, x_i≥0 x₁+x₃+x₄+x₅=6

	6+4−1 4−1
|A∩C|=		=84

6. |B∩C| x₁+x₂+x₃+x₄+(x₅+1)=10, x_i≥0, x₃≤4 x₁+x₂+0+x₄+x₅=9 x₁+x₂+1+x₄+x₅=9 x₁+x₂+2+x₄+x₅=9 x₁+x₂+3+x₄+x₅=9 x₁+x₂+4+x₄+x₅=9

	9+4−1 4−1		8+4−1 4−1		7+4−1 4−1		6+4−1 4−1		5+4−1 4−1
|B∩C|=		+		+		+		+		=645

7. |A∩B∩C| x₁+3+x₃+x₄+(x₅+1)=10, x_i≥0, x₃≤4 x₁+0+x₄+x₅=6 x₁+1+x₄+x₅=6 x₁+2+x₄+x₅=6 x₁+3+x₄+x₅=6 x₁+4+x₄+x₅=6

	6+3−1 3−1		5+3−1 3−1		4+3−1 3−1		3+3−1 3−1		2+3−1 3−1
|A∩B∩C|=		+		+		+		+		=80

Ostatecznie: |A∪B∪C|=120+875+715−110−84−645+80=951

Pytający: Swoją drogą łatwo to policzyć ze zdarzenia przeciwnego:

	10+5−1 5−1
wszystkich rozmieszczeń jest		=1001

|A∪B∪C|=1001−|A'∩B'∩C'| |A'∩B'∩C'|: x₁+x₂+(x₃+5)+x₄+0=10, x_i≥0, x₂≠3

	5+4−1 4−1
x1+x2+x3+x4=5, xi≥0 →		=56

	2+3−1 3−1
x1+3+x3+x4=5, xi≥0 →		=6

|A'∩B'∩C'|=56−6=50 |A∪B∪C|=1001−50=951

Mila: Witam Pytający , coś mi się wydaje, że za dużo tych możliwości. Praktycznie 6 kul trzeba rozłożyć . Może coś źle liczę?

Pytający: Witam Milu, pozdrawiam serdecznie! Nie rozważasz przez przypadek iloczynu zbiorów (zdarzeń), tj. jedynie punktu 7 z mojego pierwszego postu? W treści są "lub", więc musi być spełniony którykolwiek warunek. Obliczenia są na pewno dobre (sprawdzone empirycznie), chyba że źle treść zrozumiałem, acz jak dla mnie wydaje się ona dosyć jasna.

Mila: Przepraszam, tak. Pozdrawiam. Małe słówko "lub" zostało przeze mnie zignorowane.