wyznacznik
Adamm: wyprowadzić dla n=2, 3, ... tożsamość
| u12+...+un2 u1v1+...+unvn | = ∑1≤i<k≤n | ui uk |2
| u1v1+...+unvn v12+...+vn2 | | vi vk |
14 lip 23:48
Adamm: myślałem nad indukcją, ale nie wiem jak to pociągnąć
14 lip 23:51
jc:
Po prawej możemy wziąć indeksy bez ograniczeń. Równe dadzą zero. Odwrócone dadzą to samo.
Dlatego wynik należy podzilić przez dwa.
(1/2) ∑(uivk − ukvi)2 =(1/2) ∑(ui2 vk2 − 2uivi ukvk +uk2vi2)
=(∑ui2)(∑vk)2 − (∑uivi)(∑ukvk)
Przy okazji dostajemy nierówność: (UV)2 ≤ U2 V2.
Dla n=3 mamy.
(a2+b2+c2)(x2+y2+z2) = (ax+by+cz)2+(ay−bx)2+(bz−zy)2+(cx−az)2
U2 V2 = (UV)2 + (UxV)2
15 lip 09:00
Adamm: dziękuję
faktycznie, nierówność Schwarza wynika z tej równości
15 lip 13:23